流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

プチ研究

【リーマン予想】約数関数を計算してみた

約数関数 自然数に対して、約数関数は次のように定義される。 ……① つまり、の全ての約数の乗の総和である。詳しくは、約数関数 - Wikipediaを参照。を特に、と書く。 リーマン予想と約数関数 wikiによると、この約数関数が次の不等式を満たすとき、リーマン…

合成数へ一般化されたウラムの螺旋

ウラムの螺旋の一般化 前回、ウラムの螺旋を描くプログラムを書いたので、それをちょっとだけ改造して何か面白いことができないかと思った。 sky-time-math.hatenablog.jp そこで、ウラムの螺旋を一般化してみることにした。つまり、素数の点だけをプロット…

【近似解の見直し】ぺるせんたげさんの数学コンテスト【問Ⅱ】

ぺるせんたげさんの数学コンテストの問Ⅱの解と近似解 ぺるせんたげさん(@percentage011)が前回取り上げた問題の答えを公開してくれた。 数学コンテストのⅡ問目の解答例です間違いがあったら教えてください pic.twitter.com/MAfYZtIcwE — ぺるせんたげ@数学コ…

【問Ⅱ】ぺるせんたげさんの数学コンテスト【近似解】

ぺるせんたげさんの数学コンテストの問Ⅱ 今回はぺるせんたげさん(@percentage011)の数学コンテストの問Ⅱの「近似解」を作ったので、それを紹介したいと思います。問題文は、以下のツイートを参照してください。 数学コンテストを開催します!以下の問題を考…

【問Ⅰ】ぺるせんたげさんの数学コンテスト

追記(2018/10/31):解法は本質的に変わりませんが、(5)式まわりを微妙に修正しました()。 ぺるせんたげさんの数学コンテストの問Ⅰ 今回も前回に引き続き、ぺるせんたげさん(@percentage011)の数学コンテストの問Ⅰを解いていきたいと思います。 数学コンテスト…

【問Ⅲ】ぺるせんたげさんの数学コンテスト

ぺるせんたげさんの数学コンテスト ぺるせんたげさん(@percentage011)がtwitterで数学コンテストを開催していたので、昨日の夜から問題に挑戦していた。問題の詳細は以下のツイートをチェックしてください。 数学コンテストを開催します!以下の問題を考えて…

ランダムな係数の多項式の零点分布

多項式の零点~指数・対数関数からランダム多項式へ~ 以前、指数関数と対数関数を多項式で近似したときの零点の分布を調べたことがある。 sky-time-math.hatenablog.jp sky-time-math.hatenablog.jp そこで使ったプログラムを使って何か面白いことができない…

【修正版】3が合同数でないことの初等的証明

追記(2018/10/13):(10)式で計算ミスをしており、ではなく、でした。そのため、原始ピタゴラス数の3つ組がとなり、不等式の評価で矛盾を導けなくなってしまいました。いつかうまくいったら、更新します。 前回の失敗から 前回の記事では、3が合同数でないこ…

3が合同数でないことの初等的証明

追記(2018/10/07):(14)式から(15)式に移るのに飛躍があったので、証明には修正が必要なようです。うまくいったら、また更新します。 合同数とは 直角三角形の斜辺を、その他2つの斜辺をとする。このとき、が全て有理数で、かつ、その直角三角形の面積が自然…

対数関数を多項式で近似したときの零点の話【無限乗積展開!?】

対数関数のテイラー展開と多項式近似 前回の記事で指数関数を多項式で近似した場合に零点がどのように分布するのかについて調べた。 sky-time-math.hatenablog.jp 指数関数を調べたついでに対数関数の場合も調べてみようと思ったので、やってみた、というの…

exp(x)を多項式で近似したときの零点の話

twitterで見かけた指数関数の話 twitterでtsujimotterさんが、指数関数について以下のようなツイートをしていた。 ふと思った疑問。指数関数のテイラー展開って、有限項で打ち切った多項式の零点と指数関数の零点ってどういう関係になっているだろう。 — tsu…

【解の構成方法】マスターデーモンの一般化

マスターデーモンの一般化 今回の記事では、マスターデーモンの一般化について考える。「自然数rが与えられたとき、2以上ので……(1)が整数となるものを全て求めよ。」 結論から言うと、(1)式が整数になるような任意のを構成するアルゴリズムを求めることはで…

【極限!?】2次方程式の解の公式と1次方程式の解

今日もどこかで『にーえーぶんの……』 今日も誰かがどこかで、 『にーえーぶんのまいなすびー、ぷらすまいなするーとびーじじょうまいなすよんえーしー』 と呪文のように口ずさむ。聞き覚えのある数学フレーズ、そんな2次方程式の解の公式にまつわる話を今回…

【割り算ネタ】2から11までの数で割れ切れるか、簡単に判定する方法

はじめに 『私は計算が苦手だ』 そんなあなたに、今回は割り算のちょっとした裏技を紹介しようと思う。もちろん、計算が得意な人も、知ってるとさらに得すると思う。 今回紹介するのは、ある自然数がの数で割り切れるか楽に判定する方法だ。「楽に」というの…

「2015東大理系 第5問」を2進法でガンガン解こうぜ!! ~ついでに一般化できたかも?~

Youtubeを散歩してたら…… なんとなくオシャレ、かつあんまし時間のかからなそうな整数論の問題をYoutubeで見かけた*1。 【話題の一行問題】東大数学2015第5問【2015Cmが偶数】 - YouTube というわけで、久々に更新。 サクサクのおやつみたいに手軽に楽しめる…

マスターデーモンの一般化、解の個数を調べてみた。

追記:証明に間違いがあるのに気づいたので、修正が必要です。 追記(2018/07/28):一般化されたマスターデーモンの解を与えるアルゴリズムができました。興味がある方は以下の記事を参考にしてください。 sky-time-math.hatenablog.jp はじめに 前回の記事で…