とあるえぐい不定積分への多点総和法の応用

これはひどい pic.twitter.com/8wO07Gwa6Q— とらんせ(んでんた)る (@4294967291prime) 2020年5月31日

こんなやたらめったらごちゃごちゃした不定積分を見かけたので、多点総和法をテクニカルに使って初等関数で近似してみた。

真数条件から $0\lt x \lt 2$ で考える。

今回の導出課程は、非常に複雑になってしまったため、結果だけ載せる。考えすぎて、胃がやられたから勘弁してください。おそらく近似式の形から何をやったのかは想像つく人もごくわずかにいるはず……

$0\lt x \le 1$ のとき、

$f(x)\approx 0.2402(-1/4 \ln(18.01(1 - x)^2/x^2 + 21.84(1 - x)/x + 8.829)$

$- 0.2887\arctan(2.857(1 - x)/x + 1.732) - 1/4 \ln(18.01(1 - x)^2/x^2$

$- 21.84(1 - x)/x + 8.829) + 0.2887 \arctan(2.857(1 - x)/x - 1.732) + 1.694)^2$

タイプミスしてるかもしれないので、関数のスクショも貼っとく。

$1\le x \lt 2$ のとき、

$f(x)\approx - \ln(2) \ln(1 + u)^2/2 - \ln(2) \ln(1 - 1/2u^2 + 1/2u^3 - 0.694u^4)$

$u\equiv \frac{x-1}{2-x}$

こっちもスクショ貼っときます。

近似関数を緑線、数値積分を赤線でプロットすると、次の図のようになる。

$0\lt x \le 1$ のとき、

$1\le x \lt 2$ のとき、

今回やったような近似のやり方については、近々Kindleで本を出版する予定なので、

こうご期待ください。本のタイトルは、『積分と特殊関数~入門から漸近級数、多点総和法まで~』の予定です。

流れる空の中で数学を。