流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

x^2+y^2≡z^2 (mod p^e)の解の個数

数論数学プチ研究オリジナル

$x^2+y^2\equiv z^2 (\mod p)$ の解の個数

以下の文献によると、

https://math.mit.edu/research/highschool/primes/circle/documents/2020/Shleifer_Su_2020.pdf

この問題の $\mod p$ での解の個数は、 $p^2$ 個となる。

この文献を参考に一般化を試みる。

$x^2+y^2\equiv z^2 (\mod p^e)$ の解の個数

以下、上記の参考文献と並行して話を進める。以下、証明は全て完成していなくて、数値実験からの予測を一部含む。

$e\ge 2$ とする。

このとき、

$x^2+y^2\equiv 0 (\mod p^e)$ の解の個数は、

$(p^e-1)\left(1+\left(\frac{-1}{p^e}\right)\right)+1$

$=p^e+(p^e-1)\left(\frac{-1}{p^e}\right)$

次に、 $x^2+y^2\equiv k^2$ の解の個数は、

$\sum_{y=0}^{p^e-1}1+\left(\frac{k^2-y^2}{p^e}\right)$

$=p^e+\left(\frac{-1}{p^e}\right)\sum_{y'=0}^{p^e-1}\left(\frac{y'}{p^e}\right)\left(\frac{y'+2k}{p^e}\right)$

$=p^e+\left(\frac{-1}{p^e}\right)\sum_{y'=0}^{p^e-1}\left(\frac{y'}{p^e}\right)\left(\frac{y'+a}{p^e}\right)$

ここで、 $a\not\equiv 0 (\mod p)$ のとき、数値実験により、

$\sum_{y'=0}^{p^e-1}\left(\frac{y'}{p^e}\right)\left(\frac{y'+a}{p^e}\right)=(-1)^ep^{e-1}$

また、 $a\equiv 0 (\mod p)$ のとき、数値実験により、

$\sum_{y'=0}^{p^e-1}\left(\frac{y'}{p^e}\right)\left(\frac{y'+a}{p^e}\right)= \alpha p^{e-1}$

ここで、 $\alpha$ は $p$ 未満の素数の積で $p$ を超えない*1。

追記：山田先生(@tyamada1093)に $alpha=p-1$ になっていることを教えてもらいました。お礼申し上げます。

よって、

$\sum_{a=1}^{p^e-1}\sum_{y'=0}^{p^e-1}\left(\frac{y'}{p^e}\right)\left(\frac{y'+a}{p^e}\right)=\left(\frac{-1}{p^e}\right)((p^e-p^{e-1}+1)(-1)^ep^{e-1}+(p^{e-1}-1)\alpha p^{e-1})$

後はこれらを全て足し合わせればいい。

$\sum_{y=0}^{p^e-1}1+\left(\frac{k^2-y^2}{p^e}\right)$

$=p^{e}+(p^e-1)\left(\frac{-1}{p^e}\right)+(p^e-1)p^e$

$+\left(\frac{-1}{p^e}\right)((p^e-p^{e-1})(-1)^ep^{e-1}+(p^{e-1}-1)\alpha p^{e-1})$

$=p^{2e}+(p^e-1)\left(\frac{-1}{p^e}\right)$

$+\left(\frac{-1}{p^e}\right)((p^e-p^{e-1})(-1)^ep^{e-1}+(p^{e-1}-1)2p^{e-1})$

$=p^{2e}+\left(\frac{-1}{p^e}\right)((p^e-1)+(p^e-p^{e-1})(-1)^ep^{e-1}+(p^{e-1}-1)\alpha p^{e-1})$

$=p^{2e}+\left(\frac{-1}{p^e}\right)((p^e-1)+(p^e-p^{e-1})(-1)^ep^{e-1}+(p^{e-1}-1)\alpha p^{e-1})$

$\alpha=p-1$ を代入して整理すると、

$=p^{2e}+\left(\frac{-1}{p^e}\right)((1+(-1)^e)p^{2e-1}-(1+(-1)^e)p^{2e-2}+p^{e-1}-1)$

$n$ が指数が2乗以上の素因数を持つかの場合分け

$x^2+y^2\equiv z^2(\mod n)$ の解の個数がちょうど $n^2$ になるのは、 $n$ を素因数分解したとき、素数の1乗の積のみからなる場合だけになる(中国式剰余定理より)。

*1: $\alpha$ は2,3,5,6などの値を取ることを確認済みでその振る舞いは複雑に思える。