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【オイラー関数】FoxQ(または上岡)のφ類別予想【同値類】

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オイラー関数と同値類

自然数nに対して、nと互いに素な自然数の個数を\phi(n)と書き、オイラー関数という。自然数Nが与えられた時、

\phi(n)=N

を満たす自然数nの全体を考える。これにより同値関係

\phi(n)=\phi(m)\iff n\sim m

を定義することができる。このしぜんすうによる同値類\mathbb{N}/\simを考える。Nの小さい方から書き出すと、

\mathbb{N}/\sim=\{ \{1,2\}, \{3,4,6\}, \{5,8,10,12\},\{7,9,14,18\},\cdots \}

となる。このとき、

a \in \mathbb{N}/\simに対して、同値類の集合(a)の要素の個数||(a)||について、

\forall (a) \in \mathbb{N}/\sim, \exists \phi_{max} \in \mathbb{N},||(a)|| \le \phi_{max}

となる最大値\phi_{max}は存在するか?

というのが問題だ。これを

特に、Nの素因数の種類がr種類のとき、

\forall (a) \in \mathbb{N}/\sim s.t. \phi(a)=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}, \exists \phi_{r} \in \mathbb{N},||a|| \le \phi_{r}

となる最大値\phi_{r}は存在するか?

r=1の場合

r=1のとき、自明にN=2^\alphaまたはN=1である。以下、N=2^\alphaとする。

n=2^\beta p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}とすると、

\alpha_j=1でなければならない。また、

\phi(n)=2^{\beta-1} (p_1-1)\cdots (p_r-1)

であるので、

\exists \beta_j p_j=2^\beta_j + 1でなければならない。

また、i \lt j \Rightarrow \beta_i \lt \beta_jである。

よって、

\phi(n) = 2^{\beta+\beta_1+\cdots+\beta_r-1}

\alpha-\beta+1=\beta_1+\cdots+\beta_r

ここで、2^\gamma+1型の素数が無数に存在しないと仮定し、その最大値を\gamma_{r_{max}}とおくと、

\alpha-\beta+1=k_1\gamma_1+\cdots+k_{r_{max}}\gamma_{r_{max}}

と書けるので、k_1,\cdots,k_{r_{max}}が0か1かの2通りあり、その組み合わせは、2^{r_{max}}以下である。任意のNに対して、この組み合わせが決定すると、自動的に\betaも決定する。よって、nとしてありうる値は、2^{r_{max}}以下である。

一方で、2^\gamma+1型の素数が無数に存在するならば、この組み合わせに上限はないので、

Nの素因数の種類がr=1種類のとき、

\forall (a) \in \mathbb{N}/\sim s.t. \phi(a)=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}, \exists \phi_{r} \in \mathbb{N},||a|| \le \phi_{r}

となる最大値\phi_{1}は存在しないことになる。

 

フェルマー素数

 F_n=2^{2^n}+1で表される数をフェルマー数 - Wikipediaという。フェルマー数で素数のものをフェルマー素数という。フェルマー素数が無限にあるかどうかは、まだ知られていない。従って、2^\gamma+1型の素数が無数にあるかもわからない。そう、今回のFoxQ(または上岡)の\phi類別の予想はフェルマー素数に関する未解決問題を含むより、一般的な問題だったのである。

数値実験

\phi(n)=2^mを満たすnはM個としてプロットしてみると、

f:id:FoxQ:20210324140355p:plain

m=1から50までのMのプロット

f:id:FoxQ:20210324140428p:plain

m=100から2000までのMのプロット(500ずつの間隔)

このプロットを見る限り、

M\le33 

と上から抑えられているように見える。従って、フェルマー素数は有限個しか存在しないことが予想される。また、\phi_1=33であることも同時に予想される。