【オイラー関数】FoxQ(または上岡)のφ類別予想【同値類】
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オイラー関数と同値類
自然数nに対して、nと互いに素な自然数の個数をと書き、オイラー関数という。自然数Nが与えられた時、
を満たす自然数nの全体を考える。これにより同値関係
を定義することができる。このしぜんすうによる同値類を考える。Nの小さい方から書き出すと、
となる。このとき、
に対して、同値類の集合の要素の個数について、
となる最大値は存在するか?
というのが問題だ。これを
特に、の素因数の種類が種類のとき、
となる最大値は存在するか?
の場合
のとき、自明にまたはである。以下、とする。
とすると、
でなければならない。また、
であるので、
でなければならない。
また、である。
よって、
ここで、型の素数が無数に存在しないと仮定し、その最大値をとおくと、
と書けるので、が0か1かの2通りあり、その組み合わせは、以下である。任意のNに対して、この組み合わせが決定すると、自動的にも決定する。よって、としてありうる値は、以下である。
一方で、型の素数が無数に存在するならば、この組み合わせに上限はないので、
の素因数の種類が種類のとき、
となる最大値は存在しないことになる。
フェルマー素数
で表される数をフェルマー数 - Wikipediaという。フェルマー数で素数のものをフェルマー素数という。フェルマー素数が無限にあるかどうかは、まだ知られていない。従って、型の素数が無数にあるかもわからない。そう、今回のFoxQ(または上岡)の類別の予想はフェルマー素数に関する未解決問題を含むより、一般的な問題だったのである。
数値実験
を満たすはM個としてプロットしてみると、
このプロットを見る限り、
と上から抑えられているように見える。従って、フェルマー素数は有限個しか存在しないことが予想される。また、であることも同時に予想される。