【オイラー関数】FoxQ(または上岡)のφ類別予想【同値類】

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オイラー関数と同値類

自然数nに対して、ｎと互いに素な自然数の個数を $\phi(n)$ と書き、オイラー関数という。自然数Nが与えられた時、

$\phi(n)=N$

を満たす自然数nの全体を考える。これにより同値関係

$\phi(n)=\phi(m)\iff n\sim m$

を定義することができる。このしぜんすうによる同値類 $\mathbb{N}/\sim$ を考える。Nの小さい方から書き出すと、

$\mathbb{N}/\sim=\{ \{1,2\}, \{3,4,6\}, \{5,8,10,12\},\{7,9,14,18\},\cdots \}$

となる。このとき、

$a \in \mathbb{N}/\sim$ に対して、同値類の集合 $(a)$ の要素の個数 $||(a)||$ について、

$\forall (a) \in \mathbb{N}/\sim, \exists \phi_{max} \in \mathbb{N},||(a)|| \le \phi_{max}$

となる最大値 $\phi_{max}$ は存在するか？

というのが問題だ。これを

特に、 $N$ の素因数の種類が $r$ 種類のとき、

$\forall (a) \in \mathbb{N}/\sim s.t. \phi(a)=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}, \exists \phi_{r} \in \mathbb{N},||a|| \le \phi_{r}$

となる最大値 $\phi_{r}$ は存在するか？

$r=1$ の場合

$r=1$ のとき、自明に $N=2^\alpha$ または $N=1$ である。以下、 $N=2^\alpha$ とする。

$n=2^\beta p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$ とすると、

$\alpha_j=1$ でなければならない。また、

$\phi(n)=2^{\beta-1} (p_1-1)\cdots (p_r-1)$

であるので、

$\exists \beta_j p_j=2^\beta_j + 1$ でなければならない。

また、 $i \lt j \Rightarrow \beta_i \lt \beta_j$ である。

よって、

$\phi(n) = 2^{\beta+\beta_1+\cdots+\beta_r-1}$

$\alpha-\beta+1=\beta_1+\cdots+\beta_r$

ここで、 $2^\gamma+1$ 型の素数が無数に存在しないと仮定し、その最大値を $\gamma_{r_{max}}$ とおくと、

$\alpha-\beta+1=k_1\gamma_1+\cdots+k_{r_{max}}\gamma_{r_{max}}$

と書けるので、 $k_1,\cdots,k_{r_{max}}$ が0か1かの2通りあり、その組み合わせは、 $2^{r_{max}}$ 以下である。任意のNに対して、この組み合わせが決定すると、自動的に $\beta$ も決定する。よって、 $n$ としてありうる値は、 $2^{r_{max}}$ 以下である。

一方で、 $2^\gamma+1$ 型の素数が無数に存在するならば、この組み合わせに上限はないので、

$N$ の素因数の種類が $r=1$ 種類のとき、

$\forall (a) \in \mathbb{N}/\sim s.t. \phi(a)=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}, \exists \phi_{r} \in \mathbb{N},||a|| \le \phi_{r}$

となる最大値 $\phi_{1}$ は存在しないことになる。

フェルマー 素数

$F_n=2^{2^n}+1$ で表される数をフェルマー数 - Wikipediaという。フェルマー数で素数のものをフェルマー素数という。フェルマー素数が無限にあるかどうかは、まだ知られていない。従って、 $2^\gamma+1$ 型の素数が無数にあるかもわからない。そう、今回のFoxQ(または上岡)の $\phi$ 類別の予想はフェルマー素数に関する未解決問題を含むより、一般的な問題だったのである。