流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

【素因数の個数】

Nの素因数分解

N=p_1^{r_1} \cdots p_n^{r_n}

因数分解されたとき、素因数の個数

r=r_1+\cdots+r_n

を考える。これの最大値は、

r\le \frac{\ln N}{\ln 2}

となる。実際、N=10^5までの値をシミュレーションしてプロットすると、次の図のようになる。

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r(N)の分布と\ln N/ ln 2

平均化

自然数r_{mod}を考えて、

r(N)=\frac{r(N)+\cdots+r(N+r_{mod})}{r_{mod}}

として計算してみる。

r_{mod}=N/100のとき、N=10^5まででは\frac{\ln N}{\ln 4.7}で抑えられる。

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平均化したr(N)の分布と上からの評価

N=10^{k-1}+1 \sim 10^k区間で、r_{mod}=10^{k-1}として、プロットすると、

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r(N)の区間ごとの平均化

このように平均化すれば、平均化されたr(N)は上から5で抑えられるように見える。