流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

p+q=rのとき、√p+√q≡√r mod nを満たすnについて

問題

p,q,r\lt n素数とする。p+q=rのとき、\sqrt{p}+\sqrt{q}\equiv \sqrt{r} (\mod n)を満たすnp,q,r\le 300の場合に探索した。

プログラムは過去記事参照のこと、

 

sky-time-math.hatenablog.jp

\sqrt{2}+\sqrt{3}\equiv\sqrt{5} (\mod 2)

\sqrt{2}+\sqrt{17}\equiv\sqrt{19} (\mod 34)

\sqrt{2}+\sqrt{41}\equiv\sqrt{43} (\mod 82)

\sqrt{2}+\sqrt{71}\equiv\sqrt{73} (\mod 142)

\sqrt{2}+\sqrt{137}\equiv\sqrt{139} (\mod 274)

\sqrt{2}+\sqrt{191}\equiv\sqrt{193} (\mod 382)

\sqrt{2}+\sqrt{239}\equiv\sqrt{241} (\mod 478)

\sqrt{2}+\sqrt{281}\equiv\sqrt{283} (\mod 562)

 

予想

p\lt q,r \lt n素数とする。p+q=rのとき、\sqrt{p}+\sqrt{q}\equiv \sqrt{r} (\mod n)を満たすnが存在するための必要条件は、

p=2,n=2q

である。

証明できた方、証明を知っている方がいたら教えていただきたいです。