問題
前回の記事で、予想を立てた。
これをの場合に証明できたので*1、この記事で以下に書く。
となることの証明
両辺を二乗して、
よって、は
の倍数。
また、
となるが存在するので、ヤコビ記号の相互法則(第2補充法則)より、
は偶数または、
と表される*2。
(1)の場合、
となるが、
である。また、ある自然数が存在して、
従って、は8の倍数である。
ここで、とおくと、
となり、なので、
でなければならず、これより
が得られて、前提に矛盾する。
(2)が偶数の場合、
とおくと、
ここで、なので、
しかありえない。
従って、
①
②
③
のいずれかである。①はの場合である。
②のとき、③のとき、
である。
として、
ある自然数が存在して、
ある自然数が存在して、
ここで、とすると、
となり矛盾。よって、。すなわち、
が示された。
のとき、
のみが解であること
が可能性として残っているので、その場合について触れておく。
となる整数
は存在しない。よって、
の場合の解は、
のみである。