流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

【証明】p+q=rのとき、√p+√q≡√r(mod n)ならば、n=2qとなること

数論数学オリジナルプチ研究

問題

前回の記事で、予想を立てた。

sky-time-math.hatenablog.jp

これを $n\gt 2$ の場合に証明できたので*1、この記事で以下に書く。

$n=2q$ となることの証明

$\sqrt{2}+\sqrt{q}\equiv \sqrt{r}\equiv \sqrt{2+q} (\mod n)$

両辺を二乗して、

$2+q+2\sqrt{2q}\equiv 2+q (\mod n)$

$2\sqrt{2q}\equiv 0 (\mod n)$

よって、 $2\sqrt{2q}$ は $n$ の倍数。

また、

$x^2\equiv 2 (\mod n)$

となる $x$ が存在するので、ヤコビ記号の相互法則(第２補充法則)より、

$n$ は偶数または、 $n=8k\pm 1$ と表される*2。

(1) $n=8k\pm 1$ の場合、

$2\sqrt{2q}\equiv 0 (\mod n)$

$8q\equiv 0 (\mod n)$

となるが、

$0 \lt q\lt n \Rightarrow 0 \lt 8q\lt 8n$

である。また、ある自然数 $l$ が存在して、

$8q=ln$

$8q=l(8k \pm 1)=8kl \pm l$

$8(q-kl)=\pm l$

従って、 $l$ は8の倍数である。

ここで、 $l=8s$ とおくと、

$8q=8sn\Rightarrow q=sn$

となり、 $q\lt n$ なので、 $s=q$ でなければならず、これより $n=1$ が得られて、前提に矛盾する。

(2) $n$ が偶数の場合、

$n=2m$ とおくと、

$2\sqrt{2q}\equiv 0 (\mod n)$

$2q\equiv 0 (\mod m)$

ここで、 $q\lt n\Rightarrow 0\lt 2q \lt 2n=4m$ なので、

$2q=m,2m,3m$ しかありえない。

従って、

① $q=3,m=2$

② $m=2q$

③ $m=q$

のいずれかである。①は $\sqrt{2}+\sqrt{3}\equiv\sqrt{5} (\mod 2)$ の場合である。

②のとき $n=4q$ 、③のとき、 $n=2q$ である。

$k=1,2$ として、

$y^2\equiv 2 (\mod 2^k q)$

$y^2-2\equiv 0 (\mod 2^k q)$

ある自然数 $s$ が存在して、

$y^2-2 =2^k q s$

ある自然数 $z$ が存在して、 $y=2z$

$4z^2-2=2^k q s$

$2z^2-1=2^{k-1} q s$

ここで、 $k=2$ とすると、

$2z^2-2qs=1$

となり矛盾。よって、 $k=1$ 。すなわち、 $n=2q$ が示された。

$p=2,q=3,r=5$ のとき、 $n=2$ のみが解であること

$n=6$ が可能性として残っているので、その場合について触れておく。

$x^2\equiv 2 (\mod 6)$ となる整数 $x$ は存在しない。よって、 $p=2,q=3,r=5$ の場合の解は、 $n=2$ のみである。

*1: $n=2$ の場合も取り扱う。

*2:数論入門[山本義彦]p100参照