【mod】n桁の数の各位を足し続けた結果が最高の位に一致する確率【Python】

問題

2桁の数を考えます。

2桁の数の10の位と1の位を足してください。
足した数が2桁ならもう一度10の位と1の位を足し続けて、1桁の数になるまで繰り返します。

「最後の数」が「最初の数の10の位の数」と同じになる数は、いくつあるでしょうか?
— FoxQ@フォロバ99%@物理学者@作家@初心者絵師@vtuber (@foxq0113) 2021年5月8日

実はこの算数の問題は、現時点での正答率が50%程度なので、割と良問だったのではないかと満足しています。

一般化

これをn桁にした場合いくつ条件を満たすものがあるか考えてみます。

これはPythonでプログラミングすると、以下のようになります(面倒なのでjupyter notebookのコードを直貼りします)。

for n in range(2,8):
　count=0
　for N in range(10**(n-1),10**n):
　　M=(N-N%(10**(n-1)))/(10**(n-1))
　　if N%9==M%9:
　　　count+=1
　print('n=',n,'count=',count)
　print(count/(10**n-10**(n-1))*100,'%')

全角スペースが入っていますが、使用する場合、タブのスペースに置き換えてください。

実行結果

n=7桁までの結果を計算した。

n= 2 count= 18
20.0 %
n= 3 count= 108
12.0 %
n= 4 count= 1008
11.200000000000001 %
n= 5 count= 10008
11.12 %
n= 6 count= 100008
11.112 %
n= 7 count= 1000008
11.1112 %

このように、題意を満たす確率 $P_n$ は、