流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

√p＋√q≡√r(mod n)となるようなモジュロ演算

数論数学 Python プチ研究素数オリジナル

$p,q,r$ を素数としたときのルート和

$p,q,r$ を素数とする。このとき、

$\sqrt{p}$ は、自然数 $n$ を法として、方程式

$x^2=p(\mod n)$

の解が存在すれば、ちょうど２つ存在する。このとき、 $\sqrt{p} (\mod n)$ などと書くことにする。

与えられた素数 $p,q,r$ に対して、

$\sqrt{p}+\sqrt{q}\equiv\sqrt{r} (\mod n)$

を満たす $n$ は存在するかという問題が自然と思いつく。

$\sqrt{2}+\sqrt{3}\equiv \sqrt{5} (mod n)$ の場合

これを満たす自然数 $n$ は、 $n\le10^5$ まで探索したが、 $n=2$ 以外見つからなかった。そこで、次のことが予想される。

$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}(\mod n)$ が $1\sim n$ に存在するとき、

方程式 $\sqrt{2}+\sqrt{3}\equiv \sqrt{5} (\mod n)$ は、 $n=2$ 以外の解を持たない。

このことを証明できる方がいたら、または証明を知っている方がいたら、ぜひ教えていただきたいです。

$\sqrt{p}+\sqrt{q}\equiv \sqrt{r} (mod n)$ のその他の場合

$p,q,r\le 23$ かつ $5 \le n \le 50$ という条件の下で、探索すると、

$\sqrt{2}+\sqrt{17}\equiv28+17\equiv 11 \equiv \sqrt{19} (\mod 34)$

などの興味深い例が見つかった。つまり、 $p,q,r\lt n$ でかつ $p+q=r$ のとき、 $\sqrt{p}+\sqrt{q}\equiv\sqrt{r}(\mod n)$ が成り立つことがあるのだ。

一般化と予想

$p,q,r\lt n$ のとき、 $\sqrt{p}+\sqrt{q}\equiv\sqrt{r}(\mod n)$ が成り立つ $n$ は高々一通り存在する。

$p,q,r\lt n$ でかつ $p+q=r$ のとき、 $\sqrt{p}+\sqrt{q}\equiv\sqrt{r}(\mod n)$ となる $n$ が存在するような、 $p,q,r$ の組は無限に存在する。

これらの予想も証明できた方がいたら、または証明を知っている方がいたら教えていただきたい。

プログラム

最後にプログラムを貼っておく。

$\sqrt{2}+\sqrt{3}\equiv\sqrt{5} (\mod n)$ の探索プログラム

gistcf6380eb0e14ea40c0cf2590354c6e54

$\sqrt{p}+\sqrt{q}\equiv\sqrt{r} (\mod n)$ の探索プログラム

gist5030365ec757985acb76d8e1b14f0a79