流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

2009スペイン数学オリンピック

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2009スペイン数学オリンピック

twitterで見かけた以下の問題を解いてみた。たまには簡単めの問題を解くのもいいだろう。

解答

問題は、

x^2-y^4=2009

を満たすような整数の組(x,y)を全て求めよである。
問題がx^2,y^2の形になっているので、x \ge 0,y\ge 0として一般性を失わない。まず、

2009=7^2 \times 41

素因数分解できる。次に

x^2-y^4=(x+y^2)(x-y^2)

なので、x+y^2 \ge 0x+y^2 \ge x-y^2より、可能な因数分解

(x+y^2,x-y^2)=(2009,1),(287,7),(49,41)

3通りである。ところで、因数の差を見ると、

(x+y^2)-(x-y^2)=2y^2……(1)

となっている。そこで因数の差を調べると、

2009-1=2008=2^3\times 251
287-7=280=2^3\times 5 \times 7
49-41=8=2\times 2^2

となり、

(x+y^2,x-y^2)=(49,41)

 のみが(1)式の条件を満たす、また同時にy=2であることもわかる。このときx=45である。

x \ge 0,y\ge 0として一般性を失わないとしていたので、求める整数解は、

(x,y)=(\pm 45,\pm 2)

である。ここでは、複号任意である。