流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

2009スペイン数学オリンピック

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2009スペイン数学オリンピック

twitterで見かけた以下の問題を解いてみた。たまには簡単めの問題を解くのもいいだろう。

整数の組(x,y)であって,x^2-y^4=2009を満たすようなものを全て求めよ.(2009 スペイン数学オリンピック)
— 整数問題bot② (@handmade_math) August 28, 2019

解答

問題は、

$x^2-y^4=2009$

を満たすような整数の組 $(x,y)$ を全て求めよである。
問題が $x^2,y^2$ の形になっているので、 $x \ge 0,y\ge 0$ として一般性を失わない。まず、

$2009=7^2 \times 41$

と素因数分解できる。次に

$x^2-y^4=(x+y^2)(x-y^2)$

なので、 $x+y^2 \ge 0$ と $x+y^2 \ge x-y^2$ より、可能な因数分解は

$(x+y^2,x-y^2)=(2009,1),(287,7),(49,41)$

の $3$ 通りである。ところで、因数の差を見ると、

$(x+y^2)-(x-y^2)=2y^2$ ……(1)

となっている。そこで因数の差を調べると、

$2009-1=2008=2^3\times 251$
$287-7=280=2^3\times 5 \times 7$
$49-41=8=2\times 2^2$

となり、

$(x+y^2,x-y^2)=(49,41)$

のみが(1)式の条件を満たす、また同時に $y=2$ であることもわかる。このとき $x=45$ である。

$x \ge 0,y\ge 0$ として一般性を失わないとしていたので、求める整数解は、

$(x,y)=(\pm 45,\pm 2)$

である。ここでは、複号任意である。