【第1回】FoxQからの出題第1回の解答【2019/08/25出題】

FoxQからの出題(第１回)

twitterにて2019/08/25に出題した以下の問題の解答例をあげます。

[FoxQからの出題]
19の倍数でない自然数n≧2に対して、
(8^n+1)/n^3
が自然数となるようなnを全て求めよ。 pic.twitter.com/vE4V8hLbQd
— FoxQ@固定ツイにて数学問題出題中 (@foxq_stm) August 25, 2019

小さな $n$

問題の19の倍数の条件は実は外せるので、外して解く。つまり、

$2$ 以上の自然数 $n$ に対して、

$\frac{8^n+1}{n^3}$

が自然数になるような $n$ を全て求めよ。
まず、 $n$ が偶数であると仮定すると、分母が偶数、分子が奇数になって題意の数が自然数にならないので矛盾。よって、 $n$ は奇数である。
小さな $n$ について見てみると、 $n=2$ で $65/8$ , $n=3$ で $19$ となるので、 $n=3$ は1つの解になっている。これ以外に解がないとあたりをつけて証明する方針で行く。

因数分解

簡単のため $r=8$ として

$\frac{r^n+1}{n^3}$ ……(1)

と書き直す。 $p$ を $n$ を素因数分解したときの最小の奇素数として、

$n=p^kN$ ……(2)

とおくと、

$r^n+1=(r+1)\frac{r^p+1}{r+1} \frac{r^{p^2}+1}{r^p+1}\cdots \frac{r^{p^k}+1}{r^{p^{k-1}}+1} \frac{r^{p^kN}+1}{r^{p^k}+1}$ ……(3)

と分解できる。このとき、自然数 $x$ と奇数 $m$ に対して、 $f_m(x)$ を

$f_m(x)=\frac{x^m+1}{x+1}=1-x+x^2-\cdots+x^{m-1}$ ……(4)

とおくと、 $f_m(x)$ は自然数となっている。これを用いて、(3)式を書き直すと、

$r^n+1=(r+1) f_p(r) \cdot f_p(r^p) \cdot f_p(r^{p^2})\cdots f_p(r^{p^{k-1}}) f_N(r^{p^k})$

と表せる。まず、 $f_p(r^{p^j})) \; (j=0,1,\cdots,k-1)$ が $p=3$ でちょうど一回ずつ割り切れることを証明する。次に、 $f_N(r^{p^k})$ が $p=3$ で割り切れないことを証明する。これにより、 $n$ の最小の素因数の候補が $p=3$ となる。

$f_p(r^{p^j}) \; (j=0,1,\cdots,k-1)$ が $p=3$ でちょうど一回ずつ割り切れること

以後、 $p=3$ とする。まず、フェルマーの小定理より、

$r^p \equiv r \; (\bmod p)$ ……(5)

なので、

$f_p(r^{p^j}) \equiv f_p(r)$ ……(6)

である。よって、 $f_p(r)$ が $p=3$ でちょうど一回だけ割れることを示せばよい。 $r=8$ であったので、法を $3$ として

$f_3(8)=1-8+8^2 \equiv 1-(-1)+(-1)^2 =3 \equiv 0 \; (\bmod 3)$ ……(7)

より、 $f_p(r^{p^j}) \; (j=0,1,\cdots,k-1)$ は $p=3$ で少なくとも一回は割り切れる。

次に、法を $9$ として

$f_3(8)=1-8+8^2 \equiv 1-(-1)+(-1)^2 =3 \not\equiv 0 \; (\bmod 9)$ ……(8)

なので、 $f_p(r^{p^j}) \; (j=0,1,\cdots,k-1)$ は $p=3$ でちょうど一回だけ割り切れる。

$f_N(r^{p^k})$ が $p=3$ で割り切れないこと

フェルマーの小定理((5)式)より、

$f_N(r^{p^k})=f_N(r)$ ……(9)

である。法を $3$ として

$f_N(8)=1-8+8^2-\cdots+8^{N-1}$

$=1-(-1)+(-1)^2-\cdots+(-1)^{N-1}=N \; (\bmod 3)$ ……(10)

ここで、 $3$ と $N$ は互いに素であったので、

$f_N(8) \not\equiv 0 \; (\bmod 3)$ ……(11)

が言えた。つまり、 $f_N(r^{p^k})$ は $3$ で割り切れない。

分子・分母が $3$ で何回割れるか

以上より、

$r+1=9=3^2$ ……(12)

であるから、 $n=3^kN$ とするとき、(1)式の分子は $3$ で $k+2$ 回割り切れる。
分母は $3$ で $3k$ 回割り切れるので、題意を満たすためには次の不等式が成り立つ必要がある。

$k+2 \ge 3k$
$\Rightarrow 2k \le 2$
$\Rightarrow k=0,1$ ……(13)

$n$ が $3$ 以外の素因子を持たないこと

$n$ が $3$ 以外の素因子を持たないことを証明する。
$n$ の $3$ より大きい $n$ の最小の素因数を $q$ とし、 $M$ を $q$ より大きな素因数の積のみからなる自然数とする。つまり、 $q$ と $M$ は互いに素である。このとき、 $m$ を自然数として $n$ は、

$n=3^k q^m M$ ……(14)

と表せる。まず、

$R=8^{3^k}$ ……(15)

とおくと、

$R=8,512$ ……(16)

である。法を $q$ としてフェルマーの小定理を使うと、 $R^q \equiv R$ なので、

$8^n+1=R^{q^m M}+1 \equiv R^M \; (\bmod q)$ ……(17)

となる。仮定より、 $8^n+1\equiv 0 \; (\bmod q)$ なので、

$R^M+1\equiv 0 \; (\bmod q)$
$R^{2M}\equiv 1 \; (\bmod q)$ ……(18)

である。また、フェルマーの小定理より、

$R^{q-1}\equiv 1 \; (\bmod q)$ ……(19)

であった。ここで、

$R^\mu \equiv 1 \; (\bmod q)$ ……(20)

が成り立つ最小の自然数を $\mu$ とすると、(18)(19)式より、ある自然数 $s,t$ が存在して、

$2M=s\mu$ ……(21)
$q-1=t\mu$ ……(22)

と表せる。(21)式の両辺に $t$ をかけると、

$2Mt=s(q-1)$ ……(23)

を得る。ここで、Mの素因子は全て $q$ より大きいか、または $M=1$ なので、ある自然数 $u$ が存在して、

$s=Mu$ ……(24)

となる。これを(21)式に代入して、

$2=u\mu$
$\Rightarrow \mu=1,2$ ……(25)

を得る。ここで、場合分けを行う。

① $\mu=1$ の場合

$8^n+1\equiv R^M+1 \equiv 1+1 =2 \; (\bmod q)$

となり矛盾。

② $\mu=2$ の場合

$R \not\equiv 1$ であったので、

$R\equiv -1$
$\Rightarrow R+1 \equiv 0 (\bmod q)$ ……(26)

を得る。(14)(16)式で $k=0$ のとき、

$R+1=9 \equiv \; (\bmod q)$ ……(27)

を得るが、 $q$ は $3$ より大きな素数なので矛盾。以後、 $k=1$ 、 $R=512$ とすると、

$R+1=513=3^3 \times 19 \; (\bmod q)$ ……(28)

を得る。これより、

$q=19$ ……(29)

でなければいけないが、(3)式より、 $R^{q^m M}$ は

$8^n+1=R^{q^m M}+1$
$=(R+1) f_q(R) \cdot f_q(R^q) \cdot f_q(R^{q^2})\cdots f_q(R^{q^{k-1}}) f_M(R^{q^k})$ ……(30)

と因数分解できるので、(26)式に注意すると、 $p=3$ のときの議論と全く同様にして、 $8^n+1$ が $19$ でちょうど $m+1$ 回だけ割り切れることがわかる。ところが、分母は $n^3$ なので、 $19$ で3m回割り切れる。(28)式より、(1)式が自然数となるためには、次の不等式が成り立つ必要がある。