流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

2002ギリシャ数学オリンピックを解いてみた。

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2002ギリシャ 数学オリンピック

昼ごはん後の休憩として、解いてみた。

x≦y≦zを満たす正の整数の組(x,y,z)であって, xy+yz+zx-xyz=2を満たすようなものを全て求めよ.(2002 ギリシャ数学オリンピック)
— 整数問題bot② (@handmade_math) September 21, 2019

解答

問題は、

$xy+yz+zx-xyz=2$ ……(1)

である。 $x=1$ のとき、

$y+yz+z-yz=2$
$y+z=2$ ……(2)

より、 $y,z$ が正の整数なので、求める解の1組は

$(x,y,z)=(1,1,1)$ ……(3)

となる。 $x=2$ のとき、

$2y+yz+2z-2yz=2$
$2(y+z-1)=yz$ ……(4)

従って、 $y,z$ のいずれかは偶数である。 $y$ が偶数であるとして、 $y=2k(k \ge 1)$ とおくと、

$2k+z-1=kz$
$y-1=(k-1)z$ ……(5)

となるが、これは、 $z\ge y \ge x \ge 2$ であったので、 $y-1,k-1\ge 1$ となり、矛盾。従って、 $z$ が偶数であるので、これを改めて $z=2k(k \ge 1)$ とおくと、

$y+2k-1=yk$
$k(y-2)=y-1$ ……(6)

ここで、 $y-2=0$ ならば、(6)式は $0=1$ を導くので矛盾。従って、 $y-2\not= 0$ なので、(6)式の両辺を $y-2$ で割って、

$k=\frac{y-1}{y-2}$ ……(7)

隣り合う2数は互いに素なので、 $k$ が整数となるためには、

$y=3$ ……(8)

でなくてはならない。このとき、 $k=2$ より、求める解の１つは、

$(x,y,z)=(2,3,4)$ ……(9)

である。以後、 $x\ge 3$ とする。さて、(1)式に戻ると、
$2-yz=x(y+z-yz)$ ……(13)

と変形できるので、 $y+z-yz$ が0になる場合と、そうでない場合に分けて解く。 $y+z-yz=0$ のとき、

$z(1-y)=-y$
$z=\frac{y}{1-y}$ ……(14)

ここで、隣り合う2数は互いに素なので、 $y,y-1$ は互いに素となり、 $z$ は自然数にならない。よって、矛盾。したがって、(13)式の両辺は、 $y+z-yz$ で割れて、

$x=\frac{yz-2}{yz-y-z}$ ……(15)

となる。 $z \ge y \ge x \ge 3$ より、

$3 \le x=\frac{yz-2}{yz-y-z} \le \frac{yz-2}{yz-6}$ ……(16)

を得るので、これを整理して、

$3yz -18 \le yz-2$
$2yz \le 16$
$yz \le 8$ ……(17)

ところが、 $z \ge y \ge x \ge 3$ であったので、

$yz\ge 9$ ……(18)

となり、(17)(18)式は矛盾している。従って、 $x\ge 3$ の解はなく、求める解は、

$(x,y,z)=(1,1,1),(2,3,4)$ ……(19)

のみである。