流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

1997南アフリカ数学オリンピックの問題を解いてみた。

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1997南アフリカ 数学オリンピック

たまには簡単めのこんな問題を解いてみました。方針は、ひたすらmodをとるだけです。

0以上の整数の組(x,y)であって,1+3^x=2^yを満たすようなものを全て求めよ.(1997 南アフリカ数学オリンピック)
— 整数問題bot② (@handmade_math) August 28, 2019

解答

問題は、

$1+3^x=2^y$

であるような正の整数の組 $(x,y)$ を全て求めよである。

$x=0$ のとき、 $1+1=2^y$ より、求める解の１つは

$(x,y)=(0,1)$

以後、

$x \ge 1$

とする。 $y=0$ のとき、 $3^x=0$ となるがこれを満たす $x$ は明らかに存在しない。よって、

$y \ge 1$

法を $3$ として、

$1\equiv 2^y$

より、 $y$ は偶数で、

$y=2k \; (k \ge 1)$

とかける。したがって、

$1+3^x=4^k$

ここで、 $x=1$ のとき、 $k=1$ は明らかに求める解の１つである。よって、

$(x,y)=(1,2)$

は求める解のうちの１つである。以後、 $x\gt 1$ とする。
法を $4$ として

$1+3^x \equiv 0$
$\Rightarrow 3^x \equiv 3$

これより、 $x$ は奇数で

$x=2l+1 \; (l \ge 1)$

とおける。したがって、

$1+3 \cdot 9^l =4^k$

法を9として、

$1\equiv 4^k$

これより、kは $３$ の倍数である。そこで、

$k=3m \; (m\ge 1)$

とおくと、

$1+3 \cdot 9^l =64^m$

最後に法を $8$ とすると、

$1+3 \equiv 0$
$4\equiv 0 \; (\bmod 8)$

となり矛盾。よって、 $x\gt 1$ の解は存在しない。
以上より、求める解は、

$(x,y)=(0,1),(1,2)$

のみである。