流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

整数問題bot②の自作問題を解いてみた1

twitter 数学整数問題bot②

整数問題bot②の自作問題

今回もtwitterで見かけた以下の問題を解いてみた。なかなか手ごわい問題だった。

p^n-1=m^5+m^4を満たす素数p,および正の整数m,nを全て求めよ.(自作)
— 整数問題bot② (@handmade_math) September 12, 2019

解答

問題は、

$p^n-1=m^5+m^4$ ……(1.1)

を満たす正の整数[tex;m,n]を全て求めよである。

$m=1$ のとき、

$p^n=3$
$\Rightarrow p=3,n=1$ ……(1.2)

がわかる。次に、 $m=2$ のとき、

$p^n=32+16+1=49$ より

$p=7,n=2$ ……(1.3)

がわかる。これで、解

$(m,n)=(1,1),(2,2)$ ……(1.4)

が求まった。これ以外に解のないことを示す。以後、 $m\ge 3$ として矛盾を導く。

因数分解と合同式

$p^n=m^5+m^4+1=(m^2+m+1)(m^3-m+1)$ ……(2.1)

と因数分解できる。 $m\ge 3$ より、

$m^2+m+1\ge 13 \not= 1$ ……(2.2)
$m^3-m+1 \ge m^3+1 \ge 28 \not= 1$ ……(2.3)

より、 $m^2+m+1,m^3-m+1$ は $p$ の冪乗であって、 $1$ でない。従って、 $p$ を法として、

$m^2+m+1\equiv 0$ かつ $m^3-m+1\equiv 0$ ……(2.4)

である。上の2式の差をとると、

$0\equiv(m^3-m+1)-(m^2+m+1)=m(m^2-m-2)=m(m+1)(m-2)$ ……(2.5)

と因数分解できる。

場合分けと合同式

(2.5)式より、 $p$ を法として

① $m\equiv 0$
② $m\equiv -1$
③ $m\equiv 2$

となる。

①の場合、(2.4)式より、

$1 \equiv 0 (\bmod p)$ ……(3.1)

より、これを満たす素数 $p$ は存在しないので矛盾。

②の場合、(2.4)式より、

$(-1)^2-1+1\equiv 1\equiv 0 (\bmod p)$ ……(3.2)

より、これを満たす素数 $p$ は存在しないので矛盾。

③の場合(2.4)式より、

$2^2+2+1=7 (\bmod p)$ ……(3.3)

より、これを満たす素数 $p$ は $7$ である。(2.4)式より、

$2^3-2+1\equiv 7 \equiv 0 (\bmod 7)$ ……(3.4)

となるので、無矛盾である。よって、 $m\ge 3$ ならば、 $p=7$ である。

再び場合分けと合同式

(2.1),(2.2),(2.3)式より、

$m^2+m+1 = 7^k (k\ge 2)$ ……(4.1)
$m^3-m+1 = 7^l (l \ge 2)$ ……(4.2)

と表せる。そこで、法を49として、(法を7とした時と同様にして、)

$m^2+m+1\equiv 0 (\bmod 49)$ かつ $m^3-m+1\equiv 0 (\bmod 49)$ ……(4.3)

である。再び、差をとって、

$0\equiv m(m+1)(m-2) (\bmod 49)$ ……(4.4)

を得る。ところで、 $m-2$ のみが $7$ で割れたので、 $m-2$ のみが $49$ で割れる。つまり、

$m-2\equiv 0 (\bmod 49)$
$\Rightarrow m \equiv 2 (\bmod 49)$ ……(4.5)

となる。ところが、(4.3)式より、法を49として、

$2^2+2+1 \equiv 7 \equiv 0 (\bmod 49)$ ……(4.6)

となり矛盾。よって、 $m\ge 3$ の解はない。

求める解

以上より、求める解は、(1.4)式より

$(m,n)=(1,1),(2,2)$ ……(5.1)

のみである。