流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

2012年第二回東大オープン3を解いてみた

数学整数問題bot twitter 追記あり、一部未完成

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2019/09/19追記:みをつくしさんが間違いを指摘してくれたので、修正しました。ありがとうございました。

2012年第二回東大オープン3

今日は本を読む気がなかなかおきなくて数学できていないので、twitterの数学をしました。

[53]p,qを素数、nを正の整数とする。xの方程式
x²-pⁿx+qⁿ＝0
が整数解を持つとき、(p,q,n)の組を全て求めよ(2012年第二回東大オープン3、易)
— 整数問題bot (@seisu_bot) September 16, 2019

解答

まずは、式変形する。

$x^2-p^n x +q^n=0$
$x(p^n -x)=q^n$ ……(1.1)

このとき、

① $x=1,p^n-x=q^n$
② $x=q^n,p^n-x=1$
③ $x\equiv 0,p^n-x\equiv 0 (\bmod q)$

の3通りのパターンがあり得る。

①の場合

$p^n-1=q^n$ ……(2.1)

ここで、 $p,q$ の偶奇は異ならなければいけないことがわかる。 $q\lt p$ より、

$q=2$ ……(2.2)

である。また、 $n$ が偶数のとき、 $n=2k(k \ge 1)$ とおくと、

$(p^k-2^k)(p^k+2^k)=1$ ……(2.2)

となり、これを満たす $p$ は明らかに存在しないので矛盾。 $n$ が奇数のとき、

$p^n=2^n+1=(2+1)(1-2+2^2-\cdots+2^{n-1})$ ……(2.3)

と因数分解できる。ここで、 $n\ge 3$ とすると

$1-2+2^2-\cdots+2^{n-1}=p^{n-1}$
$1-2+2^2-\cdots-2^{n-2}=p^{n-1}-2^{n-1}$
$-1-2^2-2^4 \cdots - 2^{n-3}$ ……(2.4)

となるが右辺は正で、左辺は負となるので矛盾。よって、 $n=1$ で

$(p,q,n)=(3,2,1)$ ……(2.5)

である。

②の場合

$p^n-q^n=1$ ……(3.1)
$p,q$ の偶奇はことなり、 $p \gt q$ なので、 $q=2$ 。従って、

$p^n=2^n+1$ ……(3.2)

この式は(2.3)式と同じなので、求める $p,q,n$ も①の場合と同じである。

③の場合

$p^n\equiv 0 (\bmod q)$ ……(4.1)

より、 $p,q$ は素数なので、

$p=q$ ……(4.2)

である。(1.1)式より、 $k+l=n(n-1 \ge k,l \ge 1)$ となる自然数によって、

$x=p^k,p^n-x=p^l$ ……(4.3)

と表せる。 $x=p^k$ を右の式に代入して、

$p^n-p^k=p^l$
$p^k(p^{n-k}-1)=p^l$ ……(4.4)

ここで、 $n-k\ge 1$ なので、

$p^{n-k}-1\equiv -1 \not\equiv p$ ……(4.5)

なので、 $p^{n-k}-1$ は $p$ で割り切れない。従って、

$p^{n-k}-1=1$
$p^{n-k}=2$ ……(4.6)

でなければいならない。よって、これを満たす $(p,q,n)$ は、

$(p,q,n)=(2,2,2)$ ……(4.7)

求める解

以上より、求める解は、

$(p,q,n)=(3,2,1),(2,2,2)$ ……(5.1)

のみである。