流れる空の中で数学を。

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1994トルコ数学オリンピックを解いてみた

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1994トルコ数学オリンピック

最近twitterで「おはようございます。」すると、すぐ近くで「全て求めよ」って返ってくる呪いにかかったらしいFoxQです。というわけで今日のお題は、次の問題です。

正の整数の組(s,t)であって,t^2+1=s(s+1)を満たすようなものを全て求めよ.(1994 トルコ数学オリンピック)
— 整数問題bot② (@handmade_math) August 24, 2019

意外と簡単だった。

解答

２次方程式とみなして解く。

$t^2+1=s(s+1)$ ……(1)

のままだと、埒が明かないので、式変形して、

$s^2+s-t^2-1=0$

とする。これをsに関する2次方程式と見て、判別式を $D$ とすると、

$D=4t^2+5$

となる。 $s$ が整数となるためには判別式が平方数 $r^2$ *1でなければいけないので、

$4t^2+5=r^2$

とおける。これを変形して、

$5=(r-2t)(r+2t)$

$t$ が正の整数であることに注意すると*2、

$r-2t=1$
$r+2t=5$

となる。これを解いて、

$(r,t)=(3,1)$

これを(1)式に代入して解くと、

$(s,t)=(1,1)$

のみが解であることがわかる。

*1: $r$ は整数

*2:もう一方の組み合わせは、 $(r,t)=(3,-1)$ となり不適