流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

2013インド数学オリンピックを解いてみた

数学数学オリンピック twitter 追記あり、一部未完成整数問題bot②

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追記(2019/08/24):(10)式の第1因子から $s=0$ としたところに、証明の飛躍があったので修正しました。

2013インド数学オリンピック

今日はtwitterで見かけた以下の問題を解いていた。

正の整数m,nと5以上の素数pであって, m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)を満たすようなものを全て求めよ.(2013 インド数学オリンピック)
— 整数問題bot② (@handmade_math) August 22, 2019

因数分解と場合分け

まずは、因数分解していく作戦をとる。

$m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)$
$\Rightarrow 4m^3+m^2+12m+3=3p^n$

これを強引に因数分解すると、

$(4m+1)(m^2+3)=3p^n$ ……(1)

となる。 $4m+1$ が $3$ で割り切れる場合と、 $m^2+3$ が $3$ で割り切れる場合に場合分けする。

① $4m+1$ が $3$ で割り切れる場合

法を $3$ として、

$4m+1 \equiv m+1 \equiv 0$

よって、

$m=3k-1 \; (k \ge 1)$

と書ける。このとき、(1)式より、 $4m+1$ を $3$ で割って、

$p^n=(4k-1)(9k^2-6k+4)$

を得る。よって、 $l(\le n)$ を正の整数として、

$4k-1=p^l$ ……(2)
$9k^2-6k+4=p^{n-l}$ ……(3)

と書ける。 $p$ は $5$ 以上の素数なので、

$l \ge 1$
$n-l \ge 1$

である。(2)式より、

$4k=p^l+1$

これを(3)式に $16$ をかけたものに代入して、

$9(p^l-1)-24(p^l+1)+4=p^{n-l}$
$-p^{n-l}+9p^{2l}-6p^l=11$ ……(4)

そこで、 $p$ を法とすると、 $l \ge 1$ と $n-l \ge 1$ に注意して、

$0 \equiv 11 \; (\bmod p)$

これを満たす素数 $p$ は、 $11$ のみである。
ところで、(4)式に戻って法を $5$ にとると

$p=11 \equiv 1$

なので、

$-1-1-1\equiv 1$
$\Rightarrow 2\equiv 1$

となり、矛盾である。よって、 $4m+1$ は $3$ で割り切れない。

② $m^2+3$ が $3$ で割り切れる場合

$m^2 \equiv 0 \; (\bmod 3)$

これは、 $m$ が $3$ の倍数であることを意味するので、

$m=3k$

とおく。(1)式に戻って、 $3$ で割ると、

$p^n=(12k+1)(3k^2+1)$ ……(5)

を得る。よって、 $l(\le n)$ を正の整数として、

$12k+1=p^l$ ……(6)
$3k^2+1=p^{n-l}$ ……(7)

と書ける。 $p$ は $5$ 以上の素数なので、

$l \ge 1$
$n-l \ge 1$

である。また、

$12k=p^l-1$

なので、(7)式に $48(=12 \times 4)$ をかけて、代入すると、

$(p^l-1)^2+48=48p^{n-l}$
$\Rightarrow p^{2l}-2p^l+49=48p^{n-l}$
$\Rightarrow 49=48p^{n-l}-p^{2l}+2p^l$

ここで、 $p$ を法とすると、 $l \ge 1$ と $n-l \ge 1$ に注意して、

$49=7^2 \equiv 0 (\bmod p)$

を得る。これを満たす素数は

$p=7$

のみである。(6)式より、

$12k+1 \equiv 0 \; (\bmod 7)$
$\Rightarrow 5k \equiv 6 (\bmod 7)$

$gcd(5,7)=1$ なので、この方程式の解は $7$ を法としてただ１つだけ存在する。その値は、

$k \equiv 4 \; (\bmod 7)$

よって、 $s$ を正の整数として、

$k=7s+4$ ……(8)

と表せる。したがって、

$m=3(7s+4)=21s+12$ ……(9)

である。(5)式に(8)式を代入すると、

$(21s+49)(3(7s+4)^2+1)=7^n$
$(21s+49)(147s^2+168s+49)=7^n$ ……(10)

ここで、第１因子が7の冪乗になるためには、

$(21s+49)=7(3s+7)$

なので、 $u \ge 0$ を正の整数として、第1因子が $7^{u+2}$ になったとすると

$s=7 \times \frac{7^u-1}{3}$ ……(11)

となる。これを(10)式の第2因子に代入すると、第2因子は、

$49(7(7^u-1)+8(7^u-1)+1)$
$49(7^{u+1}+8\times 7^u-14)$

これは $u\ge1$ のとき明らかに $7$ の冪乗にならない。よって、 $u=0$ で、(11)式より

$s=0$

となる。このとき、(9)式より、

$m=12$

また、(10)式より、

$n=4$

となる。

解答

よって、求める解は、

$p=7,m=12,n=4$

である。