【2021年】謹賀新年自作問題その2 - 流れる空の中で数学を。

【謹賀新年の作問その2】
p,qを素数とする。

次の自然数n,m,lが、

n+m=p^2 q
m+l=8pq
l+n=q^2 p
n+m+l=49pq

を満たすとき、pqの最大値を求めよ!!
— FoxQ@作家@初心者絵師@フォロバ99% (@foxq0113) 2021年1月1日

最初の3式を足すと、

$2(n+m+l)=pq(p+q+8)$

最後の式をこの左辺に代入すると、

$98pq=pq(p+q+8)$

$90=p+q$

$q=90-p$

ここで、関数 $f(p)$ を

$f(p)=pq=p(90-p)$

で定義すると、これは $p=45$ で最大値を取る上に凸な関数である。よって、 $p=45$ に最も近い素数 $p=43,47$ が題意を満たす。この時、 $q=47,43$ なので

$pq$ の最大値は、 $43\times47=2021$ となる。