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【2021年】謹賀新年自作問題その2

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問題

 

 解答

最初の3式を足すと、

2(n+m+l)=pq(p+q+8)

最後の式をこの左辺に代入すると、

98pq=pq(p+q+8)

90=p+q

q=90-p

ここで、関数f(p)

f(p)=pq=p(90-p)

で定義すると、これはp=45で最大値を取る上に凸な関数である。よって、p=45に最も近い素数p=43,47が題意を満たす。この時、q=47,43なので

pqの最大値は、43\times47=2021となる。