流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

2014ギリシャ数学オリンピック

twitter 数学オリンピック整数問題bot②

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問題

今日は久しぶりに、暇つぶしに流れてきた整数問題bot②の問題を解いてみた。

(8n-25)/(n+3)が有理数の3乗となるような正の整数nを全て求めよ.(2014 ギリシャ数学オリンピック)
— 整数問題bot② (@handmade_math) 2021年1月21日

解答

$n=1,2,3$ のとき、与式はそれぞれ、 $-17/4,-9/5,-1/6$ となり題意を満たさない。以後、 $n\ge 4$ とする。

与式の3乗根の有理数を $k$ とおくと、与式は正となるので、[tex;k]は正である。

$\frac{8n-25}{n+3}=k^3$

これを $n$ について解くと、

$n=\frac{25+k^3}{8-k^3}$

となる。右辺の分子が正であることに注意すると、 $n$ は正の整数なので、分母も正でなければならない。従って、

$8-k^3\ge 0$

$0 \le k\le 2$

となる。そこで、互いに素な正の自然数 $l,m$ を用いて、

$k=\frac{m}{l}$

と表すと、この不等式は、

$0\le m \le 2l$

この不等式を用いて、 $n$ を不等式で上から評価すると、

$n=\frac{25l^3+m^3}{8l^3-m^3}$

$\le \frac{25l^3+8l^3}{8l^3-0}$

$\le \frac{33l^3}{8l^3}$

$\le \frac{33}{8}$

従って、

$n\le 4$

となる。最後に、 $n=4$ のとき、与式は、 $1$ となり、有理数の3乗になっている。解はこれのみである。