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【第１２回関西すうがく徒のつどい】FoxQからの挑戦状１【解答】

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FoxQからの挑戦状１

挑戦状シリーズ第一弾です。今回は複数題にわけることで難易度調整してみました。みなさん、問題を楽しんでいただけたでしょうか？楽しんでいただけたなら、とっても嬉しいです。では、問題のおさらいです。

$p,q,r$ を素数、 $k$ を自然数とし次の式を考える。

$p^2+(2^k q)^2=r^2$ ……①

(1) $k=1$ のとき、①式を満たす $p,q,r$ を全て求めよ。
(2) $k=2$ のとき、①式を満たす $p,q,r$ を全て求めよ。
(3) $k\ge 3$ のとき、①式を満たす $p,q,r$ は存在しないことを示せ。

twitterの問題も張り付けておきます。

[FoxQからの挑戦状1(解答は第12回つどい参加者限定です)]
p,q,rを素数、kを自然数とし、次の式を考える。

p^2+[(2^k)q]^2=r^2……①

(1)k=1のとき、①式を満たすp,q,rを求めよ。
(2)k=2のとき、①式を満たすp,q,rを求めよ。
(3)k≧3のとき、①式を満たすp,q,rは存在しないことを示せ。#kansaimath
— FoxQ (@foxq_stm) October 26, 2019

解答

$p$ と $q$ が互いに素でないとすると、素数なので $p=q$ 。また、左辺が $p$ で割れるので、 $r=p$ となるが、このとき、

$p^2+4p^2=5p^2=p^2$ ……(0.1)

となり、矛盾。また、 $p=2$ としても、同様にして矛盾が導かれる。よって、 $p$ と $2^k q$ は互いに素なので、①式の $(p,2^kq,r)$ は原始ピタゴラス数となる。従って、互いに素な自然数 $s,t(s\gt t)$ を用いて、

$p=s^2-t^2$ ……(0.2)
$2st=2^kq\Rightarrow st=2^{k-1} q$ ……(0.3)
$r=s^2+t^2$ ……(0.4)

と表せる。

(1)の解答

$k=1$ のとき、(0.3)式より $st=q$ なので、 $q$ が素数であることに注意すると、

$s=q,t=1$ ……(1.1)

となる。また、(0.2)式より、

$p=q^2-1=(q-1)(q+1)$ ……(1.2)

ここで、 $p$ が素数であるためには、 $q-1=1$ すなわち

$q=2$ ……(1.3)

でなくてはいけない。このとき、

$p=q+1=3$ ……(1.4)

更に、(0.4)式より、
$r=q^2+1^2=2^2+1=5$ ……(1.5)

より、求める答えは

$(p,q,r)=(3,2,5)$ ……(1.6)

(2)の解答

$k=2$ のとき、(0.3)式より、 $st=2q$ なので、

$s=q,t=2$ ……(2.1)

このとき、(0.2)式より、

$p=q^2-2^2=(q-2)(q+2)$ ……(2.2)

ここで、 $p$ が素数であるためには、 $q-2=1$ すなわち

$q=3$ ……(2.3)

でなくてはいけない。このとき、

$p=3+2=5$ ……(2.4)

更に、(0.4)式より、

$r=q^2+2^2=3^2+2^2=13$ ……(2.5)

より、求める解は、

$(p,q,r)=(5,3,13)$ ……(2.6)

(3)の解答

$k\ge 3$ のとき、(0.3)式より、 $st=2^{k-1}q$ なので、互いに素な $s,t$ として次の3通りの可能性が考えられる。

(i) $s=2^{k-1}q,t=1$
(ii) $s=q,t=2^{k-1}$
(iii) $s=2^{k-1},t=q$

(i)の場合、(0.2)式より、

$p=(2^{k-1}q-1)(2^{k-1}q+1)$ ……(3.1)

は明らかに合成数なので、矛盾。

(ii)の場合、

$p=(q-2^{k-1})(q+2^{k-1})$ ……(3.2)

より、 $p$ が素数であるためには、

$q=2^{k-1}+1$ ……(3.3)
$p=2^{k-1}+q=2^k+1$ ……(3.4)

でなければならない。ここで、 $3$ を法として考えると、(3.3)(3.4)式より、 $p,q$ のいずれかは $3$ の倍数でなければならない。すなわち、 $p,q$ は素数なので、どちらかは $3$ となる。
まず、 $p=3$ だった場合、

$3=2^k+1\Rightarrow k=1$ ……(3.5)

となり矛盾。

次に、 $q=3$ だった場合、

$3=2^{k-1}+1\Rightarrow k=2$ ……(3.6)

となり矛盾。

(iii)の場合、

$p=(2^{k-1}-q)(2^{k-1}+q)$ ……(3.7)

より、 $p$ が素数であるためには、

$q=2^{k-1}-1$ ……(3.8)
$p=2^{k-1}+q=2^k-1$ ……(3.9)

でなければならない。ここで、 $3$ を法として考えると、(3.8)(3.9)式より、 $p,q$ のいずれかは $3$ の倍数でなければならない。

まず、 $p=3$ だった場合、

$3=2^k-1\Rightarrow k=2$ ……(3.10)

となり矛盾。

次に、 $q=3$ だった場合、

$3=2^{k-1}-1\Rightarrow k=3$ ……(3.11)

となる。このとき、

$p=2^3-1=7$ ……(3.12)

更に、(0.4)式より、

$r=(2^{3-1})^2+q^2=2^4+3^2=25$ ……(3.13)

となり、 $r=5^2$ となるから、 $r$ が素数でないので矛盾。以上より、題意は示された。