【第3回】FoxQからの出題3【2019/09/10出題】

FoxQからの出題第3回

今回出題したのは以下の問題です。メルセンヌ数が途中で出てくるのがおしゃれポイントです。

[FoxQからの出題3]
(p^2-4p-2)^6=416p^n+(-36p-1)^n
を満たす自然数nと素数pの組を(全て)求めよ。 pic.twitter.com/Ux2nUXvI0M
— FoxQ@固定ツイはFoxQからの出題3 (@foxq_stm) September 10, 2019

今回の正答者はイナバノクロウサギ (@kunne_isepo)さんでした。おめでとうございます！

mod pで両辺比較して2^6-(-1)^n≡0より
n:奇数のとき、p=5,13
右辺がnの減少関数になることから有限個チェックして解なし。
n:偶数のとき、p=3,7
右辺がnの増加関数になることから有限個チェックしてp=3でn=2。
以上より(n,p)=(2,3)。 https://t.co/w53IsEzLNK
— イナバノクロウサギ (@kunne_isepo) September 19, 2019

詳細な解答例

問題は、

$(p^2-4p-2)^6=416p^n+(-36p-1)^n$ ……(1)

である。まず、 $p=2$ とすると、(1)式は偶数=偶数+奇数となって矛盾。よって、 $p$ は奇素数、このとき、

$p^2\equiv 1 (\bmod 4)$

なので、法を $4$ として(1)式は、

$(1-2)^6\equiv 1 \equiv (-1)^n$

となる。よって、 $n$ は偶数である。

次に法を $p$ として(1)式を見ると、

$(-2)^6\equiv(-1)^n\equiv 1$
$\Rightarrow 2^6-1\equiv 0$
$\Rightarrow (2^3-1)(2^3+1)=7\times3^2 (\bmod p)$

従って、

$p=3,7$

のいずれかである。

$p=7$ の場合

$p^2-4p-2=19$

である。 $n=2$ のとき、法を $19$ として

$0\equiv19^6 \equiv 17\times 49 +253^2$
$\Rightarrow 0\equiv 17\times 11 +6^2$
$\Rightarrow 0\equiv 17\times 11 +17$
$\Rightarrow 0\equiv 17\times12\equiv 17\times2^2\times 3$