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【twitterのフォロワーさん】懸賞問題の解答例【3333人記念】

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問題

今日は、twitterのフォロワー3333人記念の懸賞問題の解答例を挙げます。この問題です。

【フォロワーさん3333人記念懸賞問題】
p,qを素数、nは平方因子を持たない自然数とするとき、次の自然数Nを全て求めよ。
N=q(p^8+p^7q^2-pq^3-q^5)=n^3-3n+q

解答は過程つきでリプしてください。写真等を使ってokです。

最初の正答者に『Nの値』円からアマゾンギフト券のコードをプレゼントします!!
— FoxQ@作家@初心者絵師@フォロバ99% (@foxq0113) 2021年1月26日

最初の正答者は、おざささん(@smash033_)でした。

こんばんは、こちらでいかがでしょう。 pic.twitter.com/az4Om26GMe
— おざさ (@smash033_) 2021年1月27日

問題に挑戦してくださった皆さん、改めてありがとうございました。

想定解答

それでは、想定していた解答を書いておきます。

$N=q(p^8+p^7q^2-pq^3-q^5)=n^3-3n+q$

$N=q(p+q^2)(p^7-q^3)=n(n^2-3)+q$

ここで、 $p,q$ が共に奇素数だと仮定すると、左辺が偶数、右辺が奇数となり矛盾。よって、素数 $p,q$ の少なくとも一方は、 $2$ である。

$q=2$ とすると、

$N=2(p+4)(p^7-8)=n^3-3n+2$

$4$ を法として、 $p^2\equiv 1$ なので、

$N\equiv 2p^8=n^3-3n+2$

$n(n^2-3)\equiv 0$

$n$ は平方因子を持たないので、 $n\neq 0 (\mod 4)$ であり、 $n\equiv 1,2,3$ のとき、

$1(1^2-3)\equiv (1+1)\equiv 2$

$2(2^2-3)\equiv 2\times1\equiv 2$

$3(3^2-3)\equiv 3 \times 2\equiv 2$

となり、矛盾。従って、 $q \neq 2$ である。

これより、 $p=2$ でなければならない。このとき、 $N$ は自然数つまり正の数なので、

$N=q(2+q^2)(2^7-q^3)\ge 1$

これより、

$(128-q^3)\ge 1$

これを満たす素数 $q$ は、 $q=3,5$ のみである。

$q=5$ のとき、

$5(2+5^2)(2^7-5^3)=n^3-3n+5$

$5(2+5^2)(2^7-5^3)-3=n^3-3n+2$

$402=(n-1)^2(n+2)$

$2\times 3 \times 67=(n-1)^2(n+2)$

$n=2$ は明らかにこの式を満たさないので、右辺は平方因子を持つ。一方、左辺は平方因子を持たないので矛盾。

最後に、 $q=3$ のとき、

$N=3(2+3^2)(2^7-3^3)=n^3-3n+3$

$N-1=3332=(n-1)^2(n+2)$

$N-1=2^2\times7^2\times17=(n-1)^2(n+2)$

これを満たす $n$ は、右辺に現れる2種類の因数の差が $3$ であることに着目すると、 $n=15$ のみである。したがって、 $p=2,q=3,n=15$ のとき、求める自然数は、

$N=3333$

である。