【後編】FoxQの観賞用問題1【第１２回関西すうがく徒のつどい】

【後編】FoxQの予想の部分的証明(素数で表される場合 )

$k,n$ を自然数としたとき、

$p^a+(2^k q)^b=n^2$ ……①

を満たす素数 $p,q$ と自然数 $k,a,b$ の組を求めよ。ただし、 $(p,2^k q)$ は原始ピタゴラス数の内小さい方の2組とする。twitterの問題も貼っておきます。

[FoxQの鑑賞用問題1(解答は第12回つどい参加者限定です。)]
p,qを素数、n,k,a,bを自然数とし、次の式を考える。

p^a+[(2^k)q]^b=n^2……①

p,(2^k)qが原始ピタゴラス数の内の小さい2数のとき、①式を満たす(p,q,k,a,b)の組を全て求めよ。#kansaimath
— FoxQ (@foxq_stm) October 26, 2019

原始ピタゴラス数の小さい方の2組の内、一方は $3$ の倍数なので、

$p=3$ または $q=3$

である。今回の記事【後編】では $p=3$ の場合を取り扱う。
原始ピタゴラス数の小さい2数の内、一方は4の倍数なので、 $q=2$ または $k\ge 2$ が成り立つ。そこで、法を $4$ として、①式を書き出すと、

$3^a\equiv n^2 (\bmod 4)$ ……(1.0)

より、 $a$ は偶数である。 $p,2^kq$ は原始ピタゴラス数の小さい2数であったので、自然数 $s,t (s \gt t)$ を用いて、

$3=s^2-t^2=(s-t)(s+t)$ ……(1.1)
$2st=2^kq\Rightarrow st=2^{k-1}q$ ……(1.2)

となるので、可能な $s,t$ の組み合わせは、

(i) $s=2^{k-1}q,t=1$
(ii) $s=2^{k-1},t=q$
(iii) $s=q,t=2^{k-1}$

まず、(i)は(1.1)式より、

$3=2^{2k-2}q^2-1$ ……(1.3)

となるが、これを満たすのは、 $k=1,q=2$ のみである。

次に、(ii)も(1.1)式より、因数分解の形になっているので、

$2^{k-1}-q=1,2^{k-1}+q=3$
$\Rightarrow q=2^{k-1}-1,2^{k-1}+q=3$
$\Rightarrow 2^k=4$
$\Rightarrow k=2$
$\Rightarrow q=2^{2-1}-1=1$ ……(1.4)

となり矛盾。

最後に、(iii)も(1.1)式より、因数分解の形になっているので、

$q-2^{k-1}=1,q+2^{k-1}=3$
$\Rightarrow q=2^{k-1}+1,2^{k-1}+q=3$
$\Rightarrow 2^k=2$
$\Rightarrow k=1$
$\Rightarrow q=2^{1-1}+1=2$ ……(1.5)

以上より、(i)(ii)(iii)から、

$k=1,q=2$ ……(1.6)

が言えた。従って、解くべき方程式は、

$3^a+4^b=n^2$ ……(1.7)

$3^a+4^b=n^2$ を解く。

まずは、式変形する。

$3^a+(2^b)^2=n^2$
$\Rightarrow 3^a=(n-2^b)(n+2^b)$ ……(2.1)

ここで、 $(n+2^b)-(n-2^b)=2^{b+1}$ より、 $n+2^b$ と $n-2^b$ との公約数は $2^{b+1}$ の約数であるが、これは $3$ と互いに素なので、

$n-2^b=1,n+2^b=3^a$
$\Rightarrow 2^{b+1}=3^a-1$ ……(2.2)

一方、(1.0)式より、 $a$ は偶数であったので、 $a=2c$ とおいて最初の式を変形すると、

$4^b=(n-3^c)(n+3^c)$ ……(2.3)

ここで、 $(n+3^c)-(n-3^c)=2\cdot3^{c}$ より、 $n+3^b$ と $n-3^b$ との公約数は $2\cdot3^c$ の約数であり、 $n$ が奇数であることから $n+3^b$ と $n-3^b$ は偶数となり、

$n-3^c=2,n+3^c=2^{2b-1}$
$\Rightarrow 2\cdot 3^c=2^{2b-1}-2$
$\Rightarrow 3^c=2^{2b-2}-1$ ……(2.4)

ここで、両辺を2乗して、 $a=2c$ であったことを思い出すと、

$3^a=2^{4b-4}-2\cdot 2^{2b-2}+1$ ……(2.5)

この式を(2.2)式と比較して、

$2^{b+1}+1=2^{4b-4}-2\cdot 2^{2b-2}+1$
$\Rightarrow 2^{b+1}=2^{4b-4}-2\cdot 2^{2b-2}$
$\Rightarrow 0=2^{4b}-2^3\cdot 2^{2b}-2^5\cdot 2^b$
$\Rightarrow 0=2^{3b}-8\cdot 2^{b}-32$ ……(2.6)