【2021年】謹賀新年自作問題その１ - 流れる空の中で数学を。

異なる2つの素因数q＞pを持つ自然数nがある。

nの約数の総和をσ(n)とすると、
σ(n)-n=91
であった。

q-pが最小になるとき、自然数nを求めよ!!
— FoxQ@作家@初心者絵師@フォロバ99% (@foxq0113) 2021年1月1日

$n=pq$ なので、その約数は、 $1,p,q,pq$ である。よって、その総和は、

$\sigma (n)=1+p+q+pq$

ここから、 $n=pq$ を引くと、

$\sigma (n)-n=1+p+q=91$

$p+q=90$

$q-p$ が最小になるのは、 $p$ と $q$ の値が最も近い時だ。 $p$ の候補として、 $q$ と近い自然数は順に、 $45,44,43$ となるが、 $p=43$ のとき初めて素数になり、 $q=90-p=47$ も素数になるので、

$n=43\times 47=2021$

が求める自然数になる。