ディオファントス近似のプログラムを書いてみた【tan1°を有理数で近似する試み】

ディオファントス近似とは、ざっくり言うと無理数を有理数で近似する方法である。*1
例えば、円周率 $\pi$ については、

$\pi \simeq \frac{355}{113}=3.1415929204...$
$\pi \simeq \frac{103993}{33102}=3.141592653011903...$

等がある。

プログラム

プログラムを書くにあたって、はじめての数論31章と下記のサイトを参考にしました。ありがとうございます。

qiita.com

作成したプログラムは下記にて公開しているので、改変自由でご自由にお使いください。

github.com

使い方はalphaに近似したい無理数を代入し、Nの値をいろいろと変えていくと、既約分数による近似が得られます。Nの値が大きい程、精度は良くなりますが計算時間がかかります。

いくつかの例

今回のプログラムで計算した例をいくつか紹介する。以下は、 $N=10,10^2,10^3,10^4$ で計算した結果である。*2なるべく精度の高い方から順に書いておく。

$\sqrt{13}=3.605551275463989...$
$\simeq \frac{23382}{6485}=3.60555127216665384...$
$\simeq \frac{649}{180}=3.6055555555555556...$
$\simeq \frac{256}{71}=3.6056338028169015...$
$\simeq \frac{18}{5}=3.6$

円周率の例も再現できた。

$\pi \simeq \frac{355}{113}$
$\simeq \frac{22}{7}=3.142857142857143...$

ここからは、未知の領域へ。まずは、ネイピア数。

$\mathrm{e} = 2.718281828459045...$
$\simeq \frac{23225}{8544}=2.7182818352059925...$
$\simeq \frac{25946}{9545}=2.7182818229439496...$
$\simeq \frac{1457}{536}=2.718283582089552...$
$\simeq \frac{193}{71}=2.7183098591549295...$
$\simeq \frac{19}{7}=2.7142857142857144...$

無理数 $\tan 1^{\circ}$ *3も敢えて有理数で近似してみた。 $1/57$ で近似できたのは驚きだった。

$\tan 1^{\circ} = 0.017455064928217585...$
$\simeq \frac{169}{9682}=0.0174550712662673...$
$\simeq \frac{100}{5729}=0.017455053237912375...$
$\simeq \frac{1}{57}=0.017543859649122806...$

最後に、 $\pi^{\mathrm{e}}$ と ${\mathrm{e}}^{\pi}$ 、

$\pi^{\mathrm{e}}=22.45915771836104...$
$\simeq \frac{158921}{7076}=22.459157716223856...$
$\simeq \frac{2201}{98}=22.459183673469386...$
$\simeq \frac{1370}{61}=22.459016393442624...$
$\simeq \frac{45}{2}=22.5$

${\mathrm{e}}^{\pi}=23.140692632779263...$
$\simeq \frac{10691}{462}=23.14069264069264...$
$\simeq \frac{1481}{64}=23.140625$
$\simeq \frac{162}{7}=23.142857142857142...$