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【2021年】謹賀新年自作問題ファイナル

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2021/06/01解答

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問題

【2021年度、謹賀新年の作問ファイナル!!】

相異なる素数p,q,rがある。
このとき、自然数N
N=p^11+pq^2-q^2r=q^4r^2-p^2
を求めよ!!
— FoxQ@作家@初心者絵師@フォロバ99% (@foxq0113) 2021年1月3日

解答

与式を変形して、

$p^{11}+p^2+pq^2=q^4r^2+q^2r$ …①

となる。

$p,q,r$ が全て奇数とすると、左辺が奇数、右辺が偶数となるので、矛盾。よって、 $p,q,r$ の内１つだけが $2$ である。

② $r=2$ とすると右辺は偶数であるが、 $p,q$ は奇数なので左辺は奇数となり矛盾する。よって、 $r\ge 2$ 。

③ $q=2$ とする。このとき、①式より、

$p^{11}+p^2+4p=4r(4r+1)$ ……②

が成立する。

このとき、

$4r \ge p^{11/2}$ とすると、

$p^{11}+p^2+4p \ge p^{11}+p^{11/2}$

$p^2+4p \ge p^5$

これは、 $p\ge 5$ より矛盾。よって、

$4r \lt p^{11/2} \lt \lceil p^{11/2} \rceil$

同様にして、 $4r \le p^{11/2}-1$ を考えて、

$\lfloor p^{11/2}\rfloor -1 \lt 4r \lt \lceil p^{11/2} \rceil=\lfloor p^{11/2} \rfloor+1$

と評価できる。よって、

$4r=\lfloor p^{11/2} \rfloor$

である。 $p^{11/2}$ の整数部分を $p^5 \lt a \lt p^6$ 、小数部分を $0 \lt b \lt 1$ とおくと、②式は、

$p^{11}+p^2+4p=p(p^{10}+p+4)=a(a+1)$

ここで、 $p$ は素数なので、 $a+1$ は $p$ で割り切れる。

従って、ある整数 $0\lt k$ が存在して、

$a+1=kp$

このとき、

$p^{11}+p^2+4p=kp(kp-1)$

$p^{10}+p+4=k(kp-1)=pk^2-k$ ……④

この式を $k$ について解くと、

$k=\frac{1}{p}(1+\sqrt{4p^{10}+4p+17})$

ここで、ルートの中身は平方数でなければならないが、ここで平方根の中身より小さな平方数と大きな平方数が順に、

$(2p^5)^2,(2p^5+1)^2=4p^{10}+4p^5+1$

となるため、平方数になりえないことがわかる。よって、矛盾。従って、背理法により、 $q\neq 2$ である。

④以上より、 $p=2$ である。このとき、①式より、

$2^{11}+2^2+2q^2=q^4r^2+q^2r$

$2^{11}+2^2=q^2(q^2r^2+r-2)$

$2^2\times3^3\times 19=q^2(q^2r^2+r-2)$

平方因子に着目すると、 $q=3$ 。このとき、

$228=9r^2+r-2$

$0=9r^2+r-230$

$(r-5)(9r-46)=0$

従って、素数 $r=5$ 。

よって、題意を満たす素数は、 $p=2,q=3,r=5$ 。

このとき、求める自然数は、

$N=p^{11}+pq^2-q^2r=q^4r^2-p^2=43\times47=2021$

すなわち、 $2021$ である。