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【別解】2009ウクライナ数学オリンピックを解いてみた

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2009ウクライナ 数学オリンピック

今日もtwitterで見かけた問題を解いてみた。最近、平方数にこっているので目についたのが次の問題だ。

素数pと正の整数mであって,2p^2+p+9=m^2を満たすようなものを全て求めよ.(2009 ウクライナ数学オリンピック)
— 整数問題bot② (@handmade_math) September 10, 2019

解いてみてから気づいたが、過去にも同じ問題を解いていた。

sky-time-math.hatenablog.jp

今回は別解を見つけたので、それを紹介する。

解答

問題は、

$2p^2+p+9=m^2$ ……(0)

を満たす素数 $p$ と正の整数 $m$ を求めよである。まずは、式変形して9を右辺に移項することで、

$p(2p+1)=(m-3)(m+3)$ ……(1)

となる。 $p$ は素数なので、 $m-3,m+3$ のいずれかを割る。

① $p$ が $m-3$ を割る場合

整数 $t$ によって、

$m-3=pt$
$\Rightarrow m=3+pt$ ……(2)

と表せる。このとき(1)式より、

$p(2p+1)=pt(pt+6)$
$\Rightarrow 2p+1=t(pt+6)$
$\Rightarrow (t^2-2)p=1-6t$
$\therefore p=\frac{1-6t}{t^2-2}$ ……(3)

と変形する。*1ここで、 $t=-s$ と取り直すと、

$p=\frac{1+6s}{s^2-2}$ ……(4)

を得る。これが整数になるのは、

$1+6s \gt s^2 -2$ または $s^2-2=\pm 1$ ……(5)

の場合である。ここで、 $s^2-2=1$ は $s^2=3$ となり、 $s$ が整数とならないので不適。 $s^2-2=-1$ のとき、

$s^2=1$
$\Rightarrow s=\pm 1$ ……(6)

話を戻して、(5)式のもう一方の条件は、

$f(s) \equiv s^2-2 -(6s+1)=s^2-6s-3 \lt 0$ ……(7)

と表せる。

$f(6)=-3$
$f(7)=4$
$f(0)=-3$
$f(-1)=4$

従って、(7)式または(6)式が成立するのは、

$-1 \le s \le 6$

である。これを満たす整数 $s$ を(3)式に代入していくと、

$s=-1 \Rightarrow p=5$
$s=0 \Rightarrow p=-\frac{1}{2}$
$s=1 \Rightarrow p=-7$
$s=2 \Rightarrow p=\frac{13}{2}$
$s=3 \Rightarrow p=\frac{19}{7}$
$s=4 \Rightarrow p=\frac{25}{14}$
$s=5 \Rightarrow p=\frac{31}{23}$
$s=6 \Rightarrow p=\frac{37}{34}$

となり求める素数 $p$ は

$p=5$

である。このとき、(2)式より、 $t=1$ なので、

$m=3+5=8$

である。

② $p$ が $m+3$ を割る場合

$m+3=pt$
$\Rightarrow m=pt-3$ ……(8)

このとき(1)式より、①と同様にして、

$p(2p+1)=pt(pt-6)$
$\Rightarrow 2p+1=t(pt-6)$
$\Rightarrow (t^2-2)p=6t+1$
$\therefore p=\frac{6t+1}{t^2-2}$ ……(3)

この式は、(4)式と等価なので、

$t=-1$ のときのみ、 $p$ が正の整数になり、

$p=5$

である。このとき、(8)式より、

$m=-5-3=-8$

となるが $m$ は正の整数であったので不適。

求める解

よって、求める解は、

$p=5,m=8$

である。

*1:ちなみに、 $t$ の2次式と見て、判別式から攻めようとするとスタート地点にもどってしまう。