【FoxQの予想の検証】「原子ピタゴラス数の冪乗和が平方数になるか？」問題

原子ピタゴラス数の冪乗和が平方数になるか？

原始ピタゴラス数は、互いに素な自然数 $s,t$ で、偶奇が異なるものを用いて、

$C=s^2+t^2,B=2st,A=s^2-t^2$

で全て表される。前回の記事で、

原始ピタゴラス数の内、小さい2つを $A,B$ とする。このとき、 $A^a+B^b$ が平方数になるような自然数 $(a,b)$ を求めよという問題を考えれば、 $(a,b)=(2,2)$ 以外の解を持つのは、 $(A,B)=(9,40)$ に限る。

というFoxQの予想をたてた。
今回の記事では、この予想をより大きなピタゴラス数に対してチェックしていく。

$C\le 2\times10^6$ までの原始ピタゴラス数のチェック

今回はpythonによる数値計算 *1で、 $s,t\le1000$ の場合について、指数 $1 \le a,b \le 20$ の全ての組について調べた。なお、プログラムは以下にて公開している。

github.com

以下が、その結果である。計算の進捗状況を確認するため、 $s$ の値を $10$ ごとに出力している。解 $(a,b)=(2,2)$ 以外を持つ $A,B$ 、その解の組 $(a,b)$ *2、解の個数の順に出力している。最後に、解 $(a,b)=(2,2)$ 以外を持つ $A,B$ のリストを出力している。

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予想に反して、解 $(a,b)=(2,2)$ 以外を持つ $A,B$ は多く見つかった。FoxQの予想の反例が多く得られたのである。ところが、計算結果をよくよく見てみると、 $(A,B)=(9,40)$ を除き、解の個数が２つになっているという驚くべき性質が発見された。

新FoxQの予想

そこで、予想を新たに次のように変更する。

原始ピタゴラス数の内、小さい2つを $A,B$ とする。このとき、 $A^a+B^b$ が平方数になるような自然数 $(a,b)$ を求めよという問題を考えれば、 $(a,b)$ が解を3個以上持つのは、 $(A,B)=(9,40)$ の場合に限る。それ以外の場合の解はたかだか2個である。

この予想が正しいかどうかはまだわからないが、プロまたはアマチュアの数学者の証明を期待して待っている。最後に、 $C\le 2\times 10^8$ 、 $1 \le a,b \le 10$ で計算した結果を載せておく。*3計算の進捗状況を確認するため、 $s$ の値を $100$ ごとに出力している。それ以外の出力に関しては上のプログラムと同様である。