フェルマーの最終定理の初等的証明(修正3版)

現状：現時点では、証明が完全かどうかまだ自信を持てていません。

今回、Xのフォロワーさんたちから多くの助言をいただき、いろいろ考えました。

もし間違っていたとしても、僕の気が済むまで修正に挑戦します。

失敗することとそれを受け入れて、内省することが人のための数学だと思うからです。

期待し過ぎずにお付き合いいただけると幸いです。

修正(2025/05/11,15:59)

(Xにて@n2698151436255さんと@bakobakobakoshi さんから、論証のミスや分かりにくいところを、指摘していただきました。ありがとうございます。)

修正２(2025/05/11,16:59)

(Xにて@Cat76599648さんから、論証のミスを指摘していただきました。ありがとうございます。)

修正３(2025/05/11,16:59)

(Xにて@Cat76599648さんから、論証のミスを指摘していただきました。ありがとうございます。)

フェルマーの最終定理の初等的証明

この記事では、本日(2025/05/12)、僕が改めて投稿した以下のプレプリントについての詳細な解説をします。

osf.io

フェルマーの最終定理

まず、フェルマーの最終定理とは、自然数 $n \ge 3$ について、以下の式を満たす自然数の組 $x,y,z$ が存在しないという命題です。

$x^n +y^n = z^n$ (1)

ここで、 $2 \le x \lt y \lt z$ としても一般性を失わないので、以後この条件を使います。

背理法

フェルマーの最終定理が成り立たないと仮定すると、 $x^n +y^n = z^n$ を満たす自然数の３つ組 $x,y,z$ が存在することになります。この過程から矛盾が起こることを利用します。

$x^n +y^n = z^n$ (2)

重要な不等式

まず、以下の不等式が $k=1,\cdots,n-1$ に対して成立することを示します。

$z^k \le x^k+y^k$ (2.1.1)

以下、不等式(2.1.2)を $0\le k \le n-1$ の場合について、証明する。
まず、
$f(k;x,y,z)=1- [ (x/z)^k+(y/z)^k ]$ (2.1.2)
という関数を定義する。
$k=0$ のとき、
$f(x,y,z;k)=-1$ (2.1.3)
である。次に、 $f(x,y;k)$ これを $k$ で微分することで、
$\frac{d}{dk} f(x,y,z;k)=-(x/z)^k ln⁡(x/z)-(y/z)^k ln⁡(y/z)$
$=-(x/z)^k ln⁡(x/z)-(y/z)^k ln⁡(y/z)$ (2.1.4)
ここで、 $x\lt y\lt z$ より、
$x/z \lt 1,y/z \lt1$ (2.1.5)
が成立するので、
$ln⁡(x/z) \lt 0,ln⁡(y/z) \lt 0$ (2.1.6)

が得られる。よって、
$d/dk f(x,y,z;k) \ge 0$ (2.1.7)
より、 $f(x,y,z;k)$ は変数 $k$ についての単調増加関数である。
また、(2)式の仮定より、
$f(x,y,z;n)=0$ (2.1.8)
である。
そのため、 $0 \le k\le n-1$ のとき、
$-1 \le f(x,y,z;k) \lt 0$ (2.1.9)
即ち、 $k=0,⋯,n-1$ に対して
$1-[ (x/z)^k+(y/z)^k ] \lt 0$
$z^k-(x^k+y^k )\lt 0$
$z^k \lt x^k+y^k$ (2.1.10)
が成立する。
ここで、 $x,y,z$ は自然数であるため、
$z^k\le x^k+y^k-1$ (2.1.11)
というより強い不等式が得られる。

不等式の総和による評価とフェルマーの最終定理の証明

不等式(2.1.11)の両辺の総和をとると、等比級数の和の公式より、

$\sum_{k=0}^{n-1} z^k \le \sum_{k=0}^{n-1} x^k +\sum_{k=0}^{n-1} y^k - (n-2)$

$\frac{z^n-1}{z-1} \le \frac{x^n-1}{x-1}+\frac{y^n-1}{y-1}-(n-2)$
$\frac{z^n-1}{z-1}\lt \frac{x^n-1}{x-1}+\frac{y^n-1}{x-1}-(n-2)$
$\frac{x-1}{z-1} (z^n-1) \lt (x^n+y^n-2)-(n-2)(x-1)$
$\frac{x-1}{z-1}(z^n-1)\lt (z^n-2)-(n-2)(x-1)$