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【2021年】謹賀新年自作問題その3

数学 twitter オリジナル

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 問題

 解答

p=2と仮定すると、

p^{11}+p^2=2^2\times3^3\times19

立方因子に着目すると、q=3。

このとき、

q^3+25q^4=2^2\times3^3\times19

 よって、p=2,q=3は題意を満たす。

q=2と仮定すると、

q^3+25q^4=2^3\times3\times17

この自然数は、q=2以外で指数2以上の素因子を持たないので、不適。

q=5と仮定すると、

q^3+25q^4=2\times 3^2 \times 5^3 \times 7

平方因子に着目すると、p=3。このとき、

p^2+p^11=2^2\times 3^2 \times 7 \times 19 \times 37

よって、q\neq 5。

以降、p\geq 3,q \geq 7とする。

 

式を整理して、

p^2(p^9+1)=q^3(1+25q)

p^2(p^3+1)(p^6-p^3+1)=q^3(1+25q)

p^2(p+1)(p^2-p+1)(p^6-p^3+1)=q^3(1+25q)

となる。

 

このとき、ある自然数\alphaが存在して、

p^9+1=(p+1)(p^2-p+1)(p^6-p^3+1)=q^3\alpha

26q \gt 1+25q=p^2\alpha \geq p^2…①

 

②前提より、p\neq q。

 

③p+1\equiv 0 (\mod q)と仮定する。

p\equiv -1 (\mod q)より、

p^2-p+1\equiv 1+1+1=3\neq 0 (\mod q)

p^6-p^3+1\equiv 1+1+1=3\neq 0 (\mod q)

なので、

p\equiv -1 (\mod q^3)

 つまり、不等式

2p \gt p+1\geq q^3

を得る。①式より、

104q \gt 4p^2 \geq q^6

104\gt q^5 \geq 3^5=243

となり、矛盾。従って、

p+1\neq 0 (\mod q)

 

④p^2-p+1\equiv 0 (\mod q) と仮定する。

このとき、

p^2 \equiv p-1 (\mod q)より、

p^3\equiv p(p-1)=p^2-p\equiv p-1-p =-1 (\mod q)

p^6-p^3+1\equiv 1+1+1=3 \neq 0 (\mod q)

従って、

p^2-p+1 \equiv 0 (\mod q^3)

 となるので、

p^2 \gt p^2-p+1\geq q^3

ここで、①式より、

26q \gt p^2 \geq q^3

26 \gt q^2

5 \ge q

これはq\geq 7に矛盾。従って、

p^2-p+1\neq 0 (\mod q)

 

②、③、④より、

p^6-p^3+1\equiv 0 (\mod q^3)

p^6-p^3+1\geq q^3

となる。

 

⑤p^6-p^3+1\equiv 0 (\mod q) と仮定する。

ここで、①式において、\alpha \geq 26と仮定すると、

26p^2\leq 1+25q \lt 26q

q \gt p^2

ここで、

p^6-p^3+1\geq q^3 \gt p^6

1 \gt p^3

となり、矛盾。従って、\alpha \lt 26。このとき、

p^6-p^3+1\lt \frac{26q^3}{(p+1)(p^2-p+1)} \lt \frac{26q^3}{(3+1)(3^2-3+1)}=\frac{26q^3}{28}\lt q^3

となり、矛盾。どの自然数\alphaについても矛盾が導かれたので、p^6-p^3+1\neq 0 (\mod q)

 

③、④、⑤より、

0\neq (p+1)(p^2-p+1)(p^6-p^3+1)=p^9+1\equiv 0 (\mod q)

となり、矛盾。従って、p\geq 3, q\geq 5の素数p,qは題意を満たさない。

 よって、p=2,q=3のみが題意を満たす。

 このとき、求める自然数は、

N=25q^4-p^2=(5q^2-p)(5q^2+2)=(45-2)(45+2)=43\times47=2021

より、2021のみである。