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FoxQの予想の部分的証明([tex:s=2p^2,t=1]で[tex:p]が奇素数の場合 )

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原始ピタゴラス数

原始ピタゴラス数は、互いに素な自然数 $s,t$ で、偶奇が異なるものを用いて、

$C=s^2+t^2,B=2st,A=s^2-t^2$ ……(1.1)

で全て表される。今回は、 $s=2p^2$ , $p$ は奇素数、 $t=1$ と表されるとき、何が言えるか検証してみたので、成果を報告する。

法を4としたとき

FoxQの予想は次のものである。

$A^a+B^b$ が平方数 $n^2$ *1になる自然数 $(a,b)$ の組は、 $(A,B)=(9,40)$ の場合を除いて高々2通りである。今回は、この予想の証明を部分的な場合について行う。

まず、

$A=s^2-t-2=4p^4-1$ ……(2.1)
$B=2st=(2p)^2$ ……(2.2)

である。

$n^2 \equiv (-1)^a \; (\bmod 4)$
$\Rightarrow a$ は偶数……(2.3)

が言えるので、

$a=2m(m \ge 1)$ ……(2.4)

とおく。また、

$B=2\times2p^2=(2p)^2$ は平方数……(2.5)

である。

原子ピタゴラス数から原子ピタゴラス数へ

$A^a+B^b=(A^m)^2+((2p)^b)^2=n^2$ ……(3.1)

なので、 $A^m,(2p)^b,n$ は再びピタゴラス数になっている。ここで、ユークリッドの互除法により、

$A=4p^4-1=2p(2p^3-1)+(2p-1)$
$2p=(2p-1)+1$ ……(3.2)

となるので、 $\gcd(A,2p)=1$ 。つまり、 $A^m,(2p)^b$ は互いに素なので、 $A^m,(2p)^b,n$ は再び原始ピタゴラス数になっている。よって、ある偶奇の異なって互いに素な自然数の組 $(\alpha,\beta)$ が存在して、

$A^m=\alpha^2-\beta^2$ ……(3.3)
$(2p)^b=2\alpha \beta$ ……(3.4)
$n=\alpha^2+\beta^2$ ……(3.5)

と表せる。 (3.4)より、可能な $(\alpha,\beta)$ の組は

① $\alpha=p^b,\beta=2^{b-1}$
② $\alpha=2^{b-1}p^b,\beta=1$

の2通りである。

①の場合

法を $8$ として、 $p$ が奇数のとき

$4p^4-1\equiv 3$ ……(4.1)
$p^{2b} \equiv 1$ ……(4.2)
$2^{2b-2}\equiv 1,4,0$ ……(4.3)

が成り立つ。特に、 $b\ge 3$ で $2^{2b-2}\equiv 0$ である。そこで、(4.3)の3通りの場合を括弧()で表すことにすると、

$3\equiv A^m=p^{2b}-2^{2b-2}$
$\equiv 1+(1,4,0)$
$\equiv (2,5,1)$ ……(4.4)

で矛盾。よって、①は成り立たない。

②の場合

$3\equiv A^m=2^{2b-2}p^{2b}-1$
$\equiv (1,4,0)-1$
$\equiv (0,3,7)$ ……(5.1)

よって、

$b=2$ ……(5.2)

の場合のみ成立する。 $b=2$ のとき、

$A^m=2^{2b-2}p^{2b}-1=4p^4-1$ ……(5.3)

ところで、(2.1)式より、

$(4p^4-1)^m=4p^4-1$ ……(5.4)

となるので、明らかに解は、 $m=1$ のみである。以上から、(2.4),(5.2)式から、求める解は、全ての奇素数 $p$ に対して

$(a,b)=(2,2)$

のみである。

*1: $n$ は明らかに奇数である。