流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

フェルマーの最終定理の初等的証明(修正2版)

オリジナル数論研究高校数学

修正(2025/05/11,15:59)

(Xにて@n2698151436255さんと@bakobakobakoshi さんから、論証のミスや分かりにくいところを、指摘していただきました。ありがとうございます。)

修正(2025/05/11,16:59)

(Xにて@Cat76599648さんから、論証のミスを指摘していただきました。ありがとうございます。)

フェルマーの最終定理の初等的証明

この記事では、本日(2025/05/11)、僕が投稿した以下のプレプリントについての詳細な解説をします。

フェルマーの最終定理

まず、フェルマーの最終定理とは、自然数 $n \ge 3$ について、以下の式を満たす自然数の組 $x,y,z$ が存在しないという命題です。

$x^n +y^n = z^n$ …(1)

ここで、 $2 \le x \lt y \lt z$ としても一般性を失わないので、以後この条件を使います。

背理法

フェルマーの最終定理が成り立たないと仮定すると、 $x^n +y^n = z^n$ を満たす自然数の３つ組 $x,y,z$ が存在することになります。この過程から矛盾が起こることを利用します。

重要な不等式

まず、以下の不等式が $k=1,\cdots,n-1$ に対して成立することを示します。

$z^k \le x^k+y^k$ …(2)

不等式(2)に背理法を用います。つまり、以下の不等式が $k=1,\cdots,n-1$ に対して成立すると仮定します。

$z^k \gt x^k+y^k$ …(3)

このとき、仮定より、

$z^{n-1} \gt x^{n-1}+y^{n-1}$ …(4)

$z \gt x+y$ …(5)

が成り立つはずですが、両辺に(5)式をかけると、

$z^n \gt z(x^{n-1}+y^{n-1})$

$z^n \gt (x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})$

$z^n \gt x^n+y^n+y x^{n-1}+x y^{n-1}$ …(6)

となります。ここで、フェルマーの最終定理に対する背理法の仮定から、

$z^n=x^n+y^n \gt x^n+y^n+y x^{n-1}+x y^{n-1}$

$0 \gt y x^{n-1}+x y^{n-1}\gt 0$ …(7)

となり矛盾します。よって、 $k=n-1$ に対して、この式は成立しません。従って、背理法を考える不等式の個数が、 $k=1,\cdots,n-1$ から $k=1,\cdots,n-2$

に減りました。

このようにして、式(2)が $k=n-m,n-(m-1),\cdots,n-1$ まで成立したと仮定し、数学的帰納法を用います。つまり、

$z^{n-m} \le x^{n-m}+y^{n-m}$ …(8)

まで成立している状況で、 $k=1,2,\cdots,n-(m+1)$ について、不等式(3)が成り立つか調べます。背理法の仮定より、

$z^{n-(m+1)} \gt x^{n-(m+1)}+y^{n-(m+1)}$ …(9)

$z \gt x+y$ …(10)

ですが、これらの不等式をかけ合わせると、

$z^{n-m} \gt z(x^{n-(m+1)}+y^{n-(m+1)})$

$z^{n-m} \gt (x+y)(x^{n-(m+1)}+y^{n-(m+1)})$

$z^{n-m} \gt x^{n-m}+y^{n-m}+y x^{n-(m+1)}+x y^{n-(m+1)}\gt x^{n-m}+y^{n-m}$ …(11)

となが、これは不等式に対する数学的帰納法に矛盾する。

従って、 $k=1,\cdots n-1$ に対して、

$z^k \le x^k+y^k$ …(12)

が成立します。

不等式の等号に関する注意

$k=1,\cdots,n-1$ のとき、(12)式で等号が成立したと仮定します。

つまり、

$z^{n-1}= x^{n-1}+y^k{n-1}$ …(13)

となったと仮定すると、両辺に $z=x+y$ をかけて、

$z^{n} = (x+y) ( x^{n-1}+y^{n-1})$ …(14)

$z^{n} = x^{n}+y^k{n}+yx^{n-1}+zy^{n-1}$ …(14)

$0 = yx^{n-1}+zy^{n-1}$ …(12)

となり、矛盾します。

よって、

$z^{n-1} \lt x^{n-1}+y^{n-1}$

$z^{n-1} \le x^{n-1}+y^{n-1}-1$ …(13)

が成立します。

前節と同様にして、不等号の等号に関して数学的帰納法を用いれば、 $k=1,\cdots,n-1$ に対して、

$z^k \lt x^k+y^k$

$z^{n-1} \le x^{n-1}+y^{n-1}-1$ …(14)

が成立します。

また、 $k=0$ の場合にも拡張出来て、

$1\le 1+1-1$ …(15)

も成り立ちます。

不等式の総和による評価とフェルマーの最終定理の証明

(14)(15)式について、両辺の総和をとると、等比級数の和の公式より、

$\sum_{k=0}^{n-1} z^k \le \sum_{k=0}^{n-1} x^k +\sum_{k=0}^{n-1} y^k - (n-2)$

$\frac{z^n-1}{z-1} \le \frac{x^n-1}{x-1} +\frac{y^n-1}{y-1} - (n-2)$

$\frac{z^n-1}{z-1} \lt \frac{x^n-1}{x-1} +\frac{y^n-1}{x-1} - (n-2)$

$(z^n-1)(\frac{x-1}{z-1}) \lt (x^n+y^n-2) - (n-2)(x-1)$ …(16)

ここで、フェルマーの最終定理に対する背理法の仮定より、

$(z^n-1)(\frac{x-1}{z-1}) \lt (z^n-2) - (n-2)(x-1)$

$0 \lt (\frac{z^n-1}{z^n-2})(\frac{x-1}{z-1}) \lt - (n-2) \frac{x-1}{z^n-2}$ …(17)

$0 \lt -(n-2)(x-1)(z^n-2)$

$0 \lt -(n-2)$

$0 \lt - (n-2)$

$n \lt 2$

ここで、 $n \gt 2$ となることがフェルマーの最終定理の前提であったので、これは明らかな矛盾である。

以上から、背理法により、フェルマーの最終定理を初等的に証明できた。

ビール予想の証明

ビール予想も同様の方法で証明できる。

ビール予想については、OSFのプレプリントに書いてあります。

また、今後の記事でも説明する予定ですので、お待ちください。