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【twitter】ウクライナ数学オリンピック2009を解いてみた【数学オリンピック】

twitter 数学数学オリンピック整数問題bot②

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ウクライナ 数学オリンピック2009

twitterで見かけた問題を解いてみた。よくある「～を満たすものを全て求めよ。」系の次の問題である。

素数pと正の整数mであって,2p^2+p+9=m^2を満たすようなものを全て求めよ.(2009 ウクライナ数学オリンピック)
— 整数問題bot② (@handmade_math) August 8, 2019

解答(序盤)

$2p^2+p+9=m^2$
$p(2p+1)=(m-3)(m+3)$

とまずは変形する。
$p$ は素数なので、 $m-3$ または $m+3$ を割り切る。
なので、場合分けしていく。

① $m-3$ が $p$ の倍数のとき

$m-3=pn (n \ge 1)$ ……(1)

とおくと、

$2p^2+p=pn(pn+6)$
$=n^2p^2+6np$

$p$ と $p^2$ でまとめて、

$(6n-1)p=(2-n^2)p^2$
$(6n-1)=(2-n^2)p$ ……(2)

ここで、左辺は正であるから右辺も正でなければいけない。よって、 $n=1$ しかありえない。このとき、(1)(2)式より、

$p=5$
$m=8$

となる。

② $m+3$ が $p$ の倍数のとき

こちらの方が少し難しい。

$m+3=pn (n \ge 1)$

とおくと、

$2p^2+p=(pn-6)pn$
$=n^2p^2-6np$

$p$ と $p^2$ でまとめて、

$(6n+1)p=(n^2-2)p^2$
$(6n+1)=(n^2-2)p$ ……(3)

を得る。不等式による絞り込みを使いたいので、素数 $p$ による絞り込みを使う。 $p=2$ は題意を満たさないので*1

$p\ge 3$

である。これを上式に代入して、

$(6n+1) \ge 3(n^2-2)$

を得る。式変形して $f(n)$ を次のように定義する。

$f(n) \equiv 3n^2-6n-7 \le 0$ ……(4)

ここで、

$f(-1)=2 \gt 0$
$f(0)=-7 \lt 0$
$f(2)=-7 \lt 0$
$f(3)= 2 \gt 0$

より、上の不等式(4)の解は $n\ge1$ に注意して

$1 \le n \le 2$

となる。(3)式より、 $n=1$ は右辺だけが負になるので不適。 $n=2$ は

$13=2p$

となり、 $13$ は偶数ではないので不適。

解答(おわり)

よって、求める解は

$p=5,m=8$

のみであることがわかった。

*1: $2 \times 2^2+9 =19$ は平方数ではない。