【IMO2017】国際数学オリンピックの問題２【解答・解説】

2017年国際数学オリンピック(IMO2017)の問題２

前回に引き続き、問題２に挑戦してみた。問題は、次の通り。(http://www.imojp.org/challenge/から引用。)

$\mathbb{R}$ を実数全体からなる集合とする。関数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ であって、任意の実数 $x,y$ に対して
$f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)$
が成り立つものをすべて求めよ。

　今回はこの問題に半日くらい粘ってみたが、想像以上に手ごわく、残念ながら完答できなかった。完答できていないのに、なんでこの記事を書いてるんだとツッコミをもらいそうだが、これにはちょっとした事情がある。

日本語の解答・解説を求めて

　なかなか解答の糸口をつかめず、「吸収モード」*1に入っていた私は、ヒントや解説をネットで探していた。ところが、解説が英語のものしか見当たらないのである。英語が得意じゃない私は、解答を理解するまでに必要以上の時間を使ってしまった。そこで今回は、解答・解説を日本語に書き直してまとめておくことにした。これで、英語が苦手なみんなも、気軽に数学オリンピックの問題を楽しめるようになるはずだ。*2

今回の解答・解説は、Youtubeに挙げられている次の２つの動画を参考にした。

www.youtube.com

これらの動画の解説を、私が理解できた範囲で組み合わせ、まとめ直して翻訳してみた。基本的な解答は１つ目の動画、解答の仕上げの部分は２つ目の動画の方法を使わせていただきました。*3もし私の英語力不足で間違い等があったら、やさしく指摘していただけると助かります。それでは、本題へ。

基本的な観察

　まずは、「 $f(x)$ が定数関数であるような解」が存在するか考えてみよう。すべての $x$ に対し、 $f(x)=a \in \mathbb{R}$ とおくと、問題の関数等式より、
$a=f(f(x)f(y))=f(xy)-f(x+y)=a-a=0$
となる。したがって、 $f(x)=0$ は問題の１つの解である。以降、これ以外の解を探すために、 $f(x)$ は恒等的に $0$ でないとする。
　次に、 $x=y=0$ を代入してみる。*4
$f(f(0)f(0))+f(0+0)=f(0 \cdot 0)$
$\Leftrightarrow f(f(0)^2)=0$ ……①
つまり、 $f(0)^2$ という $f(x)$ の零点が存在する。*5
　ここで、 $f(0)=0$ であると仮定すると、面白いことが起きる。問題の関数等式に $y=0$ を代入すると、
$f(f(x)f(0))=f(0)-f(x)$
$\Leftrightarrow f(0)=f(0)-f(x)$
$\Leftrightarrow f(x)=0$
と $f(x)$ が恒等的に $0$ になってしまうのだ。したがって、恒等的に $0$ でない解を探すため、以後 $f(0) \ne 0$ とする。

零点の値を求めて

次に零点の値を調べる。つまり、 $f(r)=0$ となる実数 $r$ の値を求める。関数等式から、
$f(0)=f(f(r)f(x))=f(rx)-f(r+x)$
を得るが、 $f(0)$ は $0$ になってはいけないので、全ての $x$ について
$rx \ne r+x$
$\Leftrightarrow x(r-1) \ne r$
でなければいけない。そして、条件を満たす $r$ は実は $1$ に限る。理由は簡単で、もし $r \ne 1$ なら $x=r/(r-1)$ が上の式の等号を成立させてしまうからだ。
　結局、
$f(r)=0 \Rightarrow r=1$ ……②
であることがわかった。*6ここで、 $f(0)^2$ が零点であったことを思いだして(①式)、
$f(0)^2=1$
$\Leftrightarrow f(0)= \pm 1$
を得る。
　ところで、関数 $f(x)$ が問題の関数等式を満たすなら、 $-f(x)$ も関数等式を満たす。実際、このことは
$f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)$
$\Leftrightarrow -f(f(x)f(y))-f(x+y)=-f(xy)$
$\Leftrightarrow -f( [-f(x)][-f(y)])-f(x+y)=-f(xy)$
と確かめられる。そのため、 $f(0)=1$ となる解 $f(x)$ から、 $f(0)=-1$ となる解を構成することができる。そこで、以降は、
$f(0)=1$ ……③
として話を進める。

$f(x)$ の単射性

　 $f(x)$ が単射であることを証明する。ここがこの問題の山場であり、本質をつかなければいけない部分に思える。ここで、紹介する証明は、AoPS forumとかいうところ(?)でdnkywinさんが発表した方法らしい。
　ともかく、 $f(0)=1$ (③式)としたので、関数等式から
$f(f(x)f(1))=f(x)-f(x+1)$
$\Leftrightarrow f(0)=f(x)-f(x+1)$ (①、②式より、 $f(1)=0$ なので)
$\Leftrightarrow 1=f(x)-f(x+1)$
$\Leftrightarrow f(x+1)=f(x)-1$ ……④

という漸化式のような等式を得る。
　 $f(x)$ が単射であるというのは、 $f(a)=f(b)$ ならば $a=b$ であることを指す。
そこで、 $f(a)=f(b)$ とおく。ここで、④式から、 $f(a)=f(b)$ の両辺に $1$ を繰り返し足す（または引く）ことで、 $a \lt 1$ であるようにできるので、以下記号を適当に置き直して $a \lt 1$ とする。
　ここで、(トリッキーだが)２次方程式
$x^2-bx+a-1=0$
を考える！すると、 $a \lt 1$ より、判別式 $D=b^2-4(a-1)$ が正となるので、この２次方程式は２つの実数解 $r,s$ を持つ。*7また、解と係数の関係から、
$r+s=b$
$rs=a-1$ ……⑤
である。これで下準備は終わった。満を持して、問題の関数等式で $x=r,y=s$ を代入する！
$f(f(r)f(s))=f(rs)-f(r+s)$
$=f(a-1)-f(b)$ (⑤式より)
$=f(a)+1-f(b)$ (④式を使った。)
$=1$ (単射性を証明するときの仮定、 $f(a)=f(b)$ より。)
再び、④式を使って、
$f(f(r)f(s)+1)=0$
ここで、②式より、
$f(r)f(s)+1=1$
$\Leftrightarrow f(r)f(s)=0$
を得る。すなわち、
$f(r),f(s)$ の少なくとも一方が $0$
$\Leftrightarrow r,s$ の少なくとも一方が $1$ (②式より)

が言える。ここで、解と係数の関係の式⑤に立ち返ると、
$b=1+s$
$s+1=a$
等から、 $a=b$ を得る*8。よって、 $f(a)=f(b) \Rightarrow a=b$ が言えたので、 $f(x)$ は単射であることが証明された。

最後の仕上げ

最後の仕上げは、冒頭で挙げた２つ目の動画から紹介させていただきます。*9
　問題の関数等式で、 $y=-x$ とおくと、
$f(f(x)f(-x))=f(-x^2)-f(0)$
$\Leftrightarrow f(f(x)f(-x))=f(-x^2)-1$ 　(③式より)
$\Leftrightarrow f(f(x)f(-x))=f(1-x^2)$ 　(④式より)
ここで、関数 $f$ の単射性より、
$f(x)f(-x)=1-x^2$ ……⑥
を得る。
　同様に、問題の関数等式で $y=1-x$ とおくと、
$f(f(x)f(1-x))=f(x(1-x))-f(1)$
$\Leftrightarrow f(f(x)f(1-x))=f(x(1-x))$ 　(①、②式より、 $f(1)=0$ なので)
再び、関数 $f$ の単射性より、
$f(x)f(1-x)=x(1-x)$
$\Leftrightarrow f(x)(f(-x)-1)=x(1-x)$ (④式より)
$\Leftrightarrow f(x)f(-x)-f(x)=x-x^2$
ここで、⑥式を用いると、
$1-x^2-f(x)=x-x^2$
$\Leftrightarrow f(x)=1-x$
を得る。よって、③式の上の方で書いたように、 $f(x)$ が解なら $-f(x)$ も解である。よって、問題の関数等式を満たす解は、
$f(x)=0,1-x,x-1$
の３つである。