空間中の円の決定方法 - 流れる空の中で数学を。

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事始めと問題

twitterのNAKさんが、空間中の円の決定問題についてツイートしていたので、解いてみました。以下のツイートです。

3点と中心がわかっていれば空間上の円の方程式を出せると思うんだけど…全然わからん。数学弱いんだよ…。
— NAK@(; ･`д･´) (@nakscpcgoca) 2021年1月21日

この記事では、３つの条件下で空間中の円の決定問題を解いてみます。

中心と1点と法線ベクトルが分かっている場合

中心の位置ベクトルを $\vec{p}=(p_x,p_y,p_z)$ とする。1点を $\vec{x_1}=(x_1,y_1,z_1)$ とする。

このとき、中心が $\vec{p}$ の円の方程式は、半径を $r$ とすると、

$(\vec{x}-\vec{p})^2=r^2$ ……①

であるので、この円が点 $\vec{x_1}$ を通るので、半径 $r$ は、

$r=|\vec{x_1}-\vec{p}|=\sqrt{(x_1-p_x)^2+(y_1-p_y)^2+(z_1-p_z)^2}$

と求まる。

円の存在する平面の法線ベクトルを $\vec{n}=(n_x,n_y,n_z)$ とすると、

$(\vec{x}-\vec{p})\cdot \vec{n}=0$ ……②

これから、 $\vec{x}=(x,y,z)$ の $z$ 座標を変数 $x,y$ で表せる。

決定された $r$ を用いて、空間中の球が方程式①により決定される。②式と連立して、 $z$ 座標を消去したものが、 $xy$ 平面に射影した円の方程式となり、その各点に対して、求める円の $z$ 座標を②式で計算できる。

半径と2点と円の平面の法線ベクトルがわかっている場合

2点の内、一点を原点とする三次元座標をとると、既知の情報は、半径 $r$ と2点 $\vec{0}=(0,0,0),\vec{x_1}=(x_1,y_1,z_1)$ を通ること、および、円が与えられた法線ベクトル $\vec{n}=(n_x,n_y,n_z)$ に垂直な平面内にあることである。このとき、円の中心の位置ベクトルを $\vec{p}=(p_1,p_2,p_3)$ として円の方程式を書くと、

$(\vec{x}-\vec{p})^2=r^2$ ……①

与えられた2点を通ることから、

$\vec{p}^2=r^2$ ……②

$r^2=(\vec{x_1}-\vec{p})^2=\vec{x_1}^2-2\vec{x_1} \cdot \vec{p}+\vec{p}^2$

$r$ を消去すると、

$\vec{x_1}^2-2\vec{x_1} \cdot \vec{p}=0$

$2\vec{x_1} \cdot \vec{p}=\vec{x_1}^2$

を得る。ここで、実数 $X$ を

$X=\vec{x_1}^2=x_1^2+y_1^2+z_1^2$

と定義しておく。すると、

$2(x_1p_x+y_1p_y+z_1p_z)-X=0$ ……③

次に、円のある平面内に、円の中心もあるので、

$\vec{p}\cdot\vec{n}=0$

$p_x n_x+p_y n_y+p_z n_z=0$

3次元空間中の円を考えているので、 $n_z\neq 0$ と設定しておくと、

$p_z=-\frac{1}{n_z}(p_x n_x+p_y n_y)$

$p_z=ap_x+bp_y$ ……④

ここで、実数 $a,b$ を

$a=-\frac{n_x}{n_z}$

$b=-\frac{n_y}{n_z}$

とおいた。④を③に代入して、

$2(x_1p_x+y_1p_y+z_1(ap_x+bp_y))-X=0$

$p_y=\frac{(X/2)-(x_1+a z_1)p_x}{y_1+b z_1}$

$p_y=c+d p_x$ ……⑤

ここで、実数 $c,d$ を

$c=\frac{X}{2(y_1+b z_1)}$

$d=-\frac{x_1+a z_1}{y_1+b z_1}$

で定義した。すると、④式より、

$p_z=ap_x+b(c+d p_x)=bc+(a+bd)p_x$

そして、②式より、

$p_x^2+p_y^2+p_z^2=r^2$

なので、

$p_x^2+(c+d p_x)^2+(bc+(a+bd)p_x)^2=r^2$

$p_x^2+(c+d p_x)^2+(bc+(a+bd)p_x)^2-r^2=0$

$(1+d^2+(a+bd)^2)p_x^2+2(cd+abc+b^2cd )p_x+c^2(1+b^2)-r^2=0$

これは、 $p_x$ についての2次方程式なので、中心の $x$ 座標は２つあり、円は2通り考えられる。 $p_x$ について解くと、2次方程式の解の公式より、

$p_x=\frac{-(cd+abc+b^2cd)\pm \sqrt{(cd+abc+b^2cd)^2-(1+d^2+(a+bd)^2)(c^2(1+b^2)-r^2)}}{(1+d^2+(a+bd)^2)}$

従って、各 $p_x$ に対して、④⑤式より、 $p_y,p_z$ が決定できる。与えられた半径 $r$ と中心の位置ベクトル $\vec{p}=(p_x,p_y,p_z)$ が求まったので、球の方程式は、①となる。

この式と法線ベクトルの式を用いて、変数 $z$ を消去すると、 $xy$ 平面に射影した円の方程式が得られ、同じ式を用いることで、求める円の $z$ 座標も求まる。

３点が与えられている場合

3点の内、 $x$ 座標の値が最も値が小さいものが原点になるように、座標を取り直す。すると、3点は $\vec{0}=(0,0,0),\vec{x_1}=(x_1,y_1,z_1),\vec{x_2}=(x_2,y_2,z_2)$ と表せる。全ての点を適切に平行移動することで、一般性は失われない。

この3点により、円の存在する平面が決定されるので、その平面の法線ベクトルに平行なベクトル $\vec{n}$ は、

$\vec{n}=\vec{x_1}\times\vec{x_2}=(n_x,n_y,n_z)=(y_1z_2-z_1y_2,z_1x_2-x_1z_2,x_1y_2-y_1x_2)$

と計算できる。円上の点の位置ベクトルを $\vec{x}$ とすると、円はこのベクトルに垂直なので、

$\vec{n}\cdot \vec{x}=0$ ……①

また、円の中心の位置ベクトルを $\vec{p}=(p_1,p_2,p_3)$ 、半径を $r$ とすると、

$(\vec{x}-\vec{p})^2=r^2$ ……②

となる。円上の3点が1直線上にあることはないので、位置ベクトル $\vec{x_1},\vec{x_2}$ は平行ではないので、この２つベクトルの線形結合で中心の位置ベクトルを表すことができる。すなわち、ある実数 $s,t$ を用いて

$\vec{p}=s\vec{x_1}+t\vec{x_2}$ ……③

と表せる。ここで、座標軸の取り方から、

$s,t\ge 0$

である。円の中心の位置ベクトルは、平面の法線ベクトルに垂直なので、

$0=\vec{n} \cdot \vec{p}$

$=\vec{n} \cdot (s\vec{x_1}+t\vec{x_2})$

$=(\vec{n} \cdot \vec{x_1})s+(\vec{n} \cdot \vec{x_2}) t=0$

$= t=-\frac{\vec{n} \cdot \vec{x_1}}{\vec{n} \cdot \vec{x_2} }s$

$t=\alpha s$ ……④

ここで、実数 $\alpha$ を

$\alpha=-\frac{\vec{n} \cdot \vec{x_1}}{\vec{n} \cdot \vec{x_2} }$

$=-\frac{n_x x_1+n_y y_1+n_z z_1}{n_x x_2+n_y y_2+n_z z_2}$

で定義した。

また、円は原点を通るので、

$\vec{p}^2=r^2$

$r=\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}$ ……⑤

となる。従って、中心の位置ベクトルを決定できれば、円の半径がこの式により求まる。

②式と連立して、

$\vec{x}^2-2\vec{x}\cdot \vec{p}=0$

となる。円は、点 $vec{x_1}$ を通るので、

$\vec{x_1}^2-2\vec{x_1}\cdot (s\vec{x_1}+t\vec{x_2})=0$

④式を $t$ に代入して、

$\vec{x_1}^2-2\vec{x_1}\cdot (s\vec{x_1}+\alpha s\vec{x_2})=0$

$\vec{x_1}^2-2\vec{x_1}^2s-2\alpha s\vec{x_1}\cdot\vec{x_2}=0$

$2\vec{x_1}^2s+2\alpha s\vec{x_1}\cdot\vec{x_2}=\vec{x_1}^2$

$2(\vec{x_1}^2+\alpha \vec{x_1}\cdot\vec{x_2})s=\vec{x_1}^2$

$s=\frac{\vec{x_1}^2}{2(\vec{x_1}^2+\alpha \vec{x_1}\cdot\vec{x_2})}$

$s=\frac{x_1^2+y_1^2+z_1^2}{2(x_1^2+y_1^2+z_1^2+\alpha (x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2))}$

以上より、3点の座標から $s$ が求まったので、④式より $t$ が求まり、結局、円の中心の位置ベクトル $\vec{p}$ が③式により、求まる。 $\vec{p}$ から半径 $r$ が、⑤式により求まるので、これらの量を用いて、球の方程式は②式により決定される。