【問Ⅲ】ぺるせんたげさんの数学コンテスト

ぺるせんたげさんの数学コンテスト

　ぺるせんたげさん(@percentage011)がtwitterで数学コンテストを開催していたので、昨日の夜から問題に挑戦していた。問題の詳細は以下のツイートをチェックしてください。

数学コンテストを開催します！

以下の問題を考えてみてください
制限時間とかは特にないです
最初に全て解けた人をめっちゃ褒めます

問題制作者:ぺるせんたげ @percentage011
協力してくれた人:SOx @SOx_S_R_M pic.twitter.com/sejhERZTdR
— ぺるせんたげ@数学コンテスト開催中 (@percentage011) October 27, 2018

　現在、問Ⅰと問Ⅲは解けたが、問Ⅱは解けていない状態です。
今回の記事では問Ⅲの解説をします。

手計算としらみつぶし

　問題Ⅲに取り組んだ最初の頃は、手計算で解がないこと証明しようとしていた。解の候補をどんどん絞り込んでいって、最後には解の候補が無くなるところまで行こうという戦略をとっていた。ところが、解の候補として20パターンの場合分けが必要になり、さらにその１つ１つについて調べなければいけないというところで、心がポキッと折れた。そこで、数値計算を使ってしらみつぶしで解を探すことにした。つまり、1から9の自然数を並び変える順列の全パターンを、逐一a,b,c,d,e,f,g,h,iに代入して、下の式を満たすかどうかをチェックした。

$\frac{a}{bc}+\frac{d}{ef}+\frac{g}{hi}=1$ ……(1)

　結論から先に言うと、(1)式を満たす解が見つかってしまった。そこで、実際に解があることを、以下で紹介します。

ただ１つの解

(1)式では、各項の順序や、分母の因子をかけ合わせる順序を適当に変えることで、一般性を失うことなく、

$a \lt d \lt g$ ……(2)
$b \lt c$ ……(3)
$e \lt f$ ……(4)
$h \lt i$ ……(5)

という条件を課すことができる。Pythonでの数値計算により、この条件の下での解はただ１つだけ存在することが判明した。その解は、

$a=1,b=3,c=6$ ……(6)
$d=5,e=8,f=9$ ……(7)
$g=7,h=2,i=4$ ……(8)

である。実際、

$\frac{1}{3 \cdot 6} +\frac{5}{8 \cdot 9} + \frac{7}{2 \cdot 4}$
$=\frac{1}{18} +\frac{5}{72} + \frac{7}{8}$
$=\frac{4+5+7 \cdot 9}{72}$
$=\frac{4+5+63}{72}$
$=\frac{72}{72}=1$ ……(9)