「2015東大理系第５問」を２進法でガンガン解こうぜ！！～ついでに一般化できたかも？～

Youtubeを散歩してたら……

　なんとなくオシャレ、かつあんまし時間のかからなそうな整数論の問題をYoutubeで見かけた*1。

【話題の一行問題】東大数学2015第5問【2015Cmが偶数】 - YouTube

というわけで、久々に更新。
　サクサクのおやつみたいに手軽に楽しめる問題なので、遊びたい人は自分でチャレンジしてみてください。ちょっとした気分転換になると思うよ！

2015東大理系　第5問

　問題は次の通り、

『 $m$ を $2015$ 以下の正の整数とする。 ${}_{2015} C_{m}$ が偶数となる最小の $m$ を求めよ。』

　これを気楽に解いてみた*2。
　２進法を使って解いてみたのが、結構気に入ったので公開してみる。そう、２進法でガンガンいってるので、受験生は真似しない方がいいかも*3……
　要は、どこかの数学好きが、少しでも楽しくなればOKというスタンスなのだ。

今回のあらすじ

　ステップ１： $m=2^n$ の場合に $m!$ を調べてみた。これは寄り道。
　ステップ２： $2$ 進法を使う解き方の始まり～。そして、怪し過ぎる数を見つける！
　ステップ３： ${}_{2015} C_{m}$ が奇数であり続ける、そのギリギリまで一掃する！
　ステップ４： ${}_{2015} C_{m}$ がついに偶数に！ついでに一般化も？

ステップ１(寄り道): $m=2^n$ のとき、 $m!$ は $2$ で最大何回割れるか？

　最初にやった実験を紹介してみる。けど、この方針は途中で面倒になって放棄したので、興味ない人や解法だけ知りたい人はステップ２から読んだ方が良いです。
整数問題が苦手な人が、この問題を考える練習くらいにはなってるかも？*4

　 ${}_{2015} C_{m}=\frac{2015\cdots(2015-m+1)}{m!}$

が偶数かどうかを考えたいから、分子分母が $2$ で何回割り切れるかを調べるのが基本方針になる。

　そこで、分母に現れる $m$ が $2$ でぴったり $n$ 回割り切れる $m=2^n (n \in \mathbb{N})$ と表せる場合から考えてみる。
このとき、 $m! = (2^n)!$ は $2$ で最大何回まで割り切れるか？(素因数 $2$ の個数)

これを知りたくなって、冪のリズムに合わせて、

　 $m! = (2^4)! =1 \times 2 \times (3 \cdot 4) \times (5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8) \times (9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16)$

とかテンポ良く書いてみた。

それで、この式をちょっと観察すると、

「 $(2^n +1) (2^n +2) \cdots (2^{n+1})$ に含まれる偶数は、 $(2^{n-1} +1) (2^{n-1} +2) \cdots (2^{n})$ に現れる数1つ1つに $2$ をかけたものに一致する」

と気づく。逆に言うと、
「 $(2^n +1) (2^n +2) \cdots (2^{n+1})$ に含まれる偶数を全て取り出し、それぞれ $2$ で割ってから、もう一度かけ直すと、 $(2^{n-1} +1) (2^{n-1} +2) \cdots (2^{n})$ にピッタリ一致する*5。」

　この観察結果から、 $(2^{n-1} +1) (2^{n-1} +2) \cdots (2^{n})$ に含まれる素因数 $2$ の個数を $a_{n}$ とおいて考えてみる。まず、 $2^1$ は $2$ で $1$ 回だけ割れるから $a_{1}=1$ だ。一般の $n$ のときは、上に書いた観察から、

　 $a_{n+1}=a_{n}+2^{n}-2^{n-1}$
と書けることが明らかなので、少し式変形して、
　 $a_{n+1}-2^{n}=a_{n}-2^{n-1}=\cdots=a_{1}-2^{0}=0$
$\iff a_{n}=2^{n-1}$
つまり、 $(2^n +1) (2^n +2) \cdots (2^{n})$ は $2$ で、最大 $2^{n-1}$ 回割れる。
よって、

『定理１: $m! = (2^n)!$ は $2$ で、最大 $2^{n}-1(=1+2+\cdots+2^{n-1})$ 回割れる。』

と分かる。これを使うと、 $1$ から $1024=2^{10}$ までの数を１つずつかけた数は、 $2$ で $1023(=2^{10}-1)$ 回割れるとかすぐにわかる*6。

ステップ２: 2015を $2$ の冪を使って表してみたくなる。そして、2進法へ……

　分母に現れる $m$ が $2$ の冪の場合は、ステップ１で調べた。
次は分子だが、 $2015$ は偶数じゃない。けど、 $2$ の冪を使う方針を押し通したい。そんな理由で、 $2$ 進法を使ってみることにした。

すると、驚愕の事実が分かった!

　『驚愕の事実１: $2015$ は2進法で $11111011111_2$ と表せる』

これは、
　 $2015=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0$
と表せるということなので、あからさまに $2^5$ が怪しい*7。
推理小説にしたら、「犯人臭」出し過ぎもいいところじゃないか～
これで、 $2^5$ が犯人(正解)だったら、推理小説としては残念なレベル……
初見で感じた「オシャレ感」も３割りくらい引っ込めたい気持ちに*8……
一応結末は、この記事の最後ということで……

　さて、計算結果１を改めて見つめて、桁の小さい方から大きい方へと指でなぞってやる。すると、ちょうど真ん中にある $0$ が「壁になってる感」がある。
そこで少し観察をして、 $2$ 進法の定義に立ち返りつつ進むことにした。

突然だが、ここで以下の数々を見比べていただきたい。
　 $11111011111_2$ と $11111_2$
　 $11111011011_2$ と $11011_2$
　 $11111010100_2$ と $10100_2$
さて、右と左の数の関係は何か?

　答えは、「右に書いてある数は、左に書いてある数において、中央にある $0$ より右側の数字だけを取り出したもの」でした。言ってみると、右の数は「 $0$ の壁のこちら側」の世界である。

なぜ、「 $0$ の壁のあちら側*9」を捨てたのか?

答えは、割りとシンプルで、 $2$ で割れる回数が等しいからだ。つまり、

「 $x_i =0,1 (i=0,1,2,3,4)$ とし、 $x_4 x_3 x_2 x_1 x_0$ が $0$ でないとする。
このとき、
$X=111110 x_4 x_3 x_2 x_1 x_0$
という２進数 $X$ を考えると、 $X$ を $2$ で割れる最大回数は、 $x_4 x_3 x_2 x_1 x_0$ に一致する。」

　このことがすぐわからない時は、 $10$ 進数の場合を考えるといいかも。
例えば、 $10$ 進数で $11111038400$ と数を考えると、
　 $32741038400=32741000000+38400$
なので、 $32741038400$ と $38400$ は $10$ で割れる回数は等しい。
と、こんな感じだ。

以上をまとめて、

『定理２: $２$ 進法において、 $x_4 x_3 x_2 x_1 x_0$ を $0$ でない自然数とする。このとき、 $x_N \cdots x_6 0 x_4 x_3 x_2 x_1 x_0$ *10を2で割り切れる最大回数は、 $x_4 x_3 x_2 x_1 x_0$ のものと一致する。』

と分かった！

　これを応用すると、 $2015$ から $2015-2^5+1$ までの数に含まれる素因数 $2$ の個数が知りたいときは、
　 $2015=11111011111_2$ と $31=11111_2$
　 $2014=11111011110_2$ と $30=11110_2$

　　　　　　　　 $\cdots$

　 $2015-2^5+1=11111000001_2$ と $1=1_2$

と置き換えて調べればいいと言える。このことから、 $m \lt 2^5$ ならば、 ${}_{2015} C_{m}=\frac{2015\cdots(2015-m+1)}{m!}$ の偶奇と、 ${}_{31} C_{m}=\frac{31\cdots(31-m+1)}{m!}$ の偶奇は一致していると分かる。
というわけで、 $m \lt 2^5$ の場合は簡単に調べられるので、ステップ３へGO!

ステップ３：解法（ $m \lt 2^5$ のとき、 ${}_{2015} C_{m}$ が奇数であること）

　 $m \lt 2^5$ の場合、定理２より、
$2015\cdots(2015-m+1)$ と $31\cdots(31-m+1)$ は、 $2$ で割り切れる回数が等しい*11。
　よって、 $m$ が1から31までの ${}_{31} C_{m}$ の偶奇を調べれば、この問題はほとんど解けたようなものと言えるだろう。実際は、 ${}_{31} C_{m}={}_{31} C_{31-m}$ なので、 $m$ は折り返し地点までの $16$ まで調べれば十分十分！そこで、以下、 $m\leq16$ とする。

ここで、 $31$ が $2$ 進法で $11111_2$ と表せることにジッと注目した。
$m$ は仮定より、 $2$ 進法で $x_4 x_3 x_2 x_1 x_0$ と表せる。
後は、 $11111_2-m+1$ と $m$ が２で割り切れる回数が等しいことを示せば良さそうだ。もうほとんど自明かもしれないけど、一応計算をつけておく。

$m$ を $2$ で割れる最大の回数が $k$ の場合、 $x_0=x_1=\cdots x_{k-1}=0$ かつ $x_k=1$ なので、

　 $11111_2-m+1$

$=11111_2-(m-1)$

$=11111_2-(x_4 \cdots x_{k+1} 1 0 \cdots 0_2 -1_2)$

$=11111_2-x_4 \cdots x_{k+1} 0 1 \cdots 1_2$

この計算から、 $11111_2-m+1$ は $2$ 進数で表すと、その下 $k$ 桁は $1 0 \cdots 0$ に一致する。
　従って、 $11111_2-m+1$ と $m$ が $2$ で割り切れる最大の回数は等しい。
これより、 $31\cdots(31-m+1)$ が $2$ で割り切れる最大の回数は $m!$ と等しいので、

　　 ${}_{31} C_{m}$ が奇数であることがわかる。

ここまでの話は、そのまま一般化できて、次の定理が成り立つ。

『定理３:自然数 $n$ が $2$ 進法で $11\cdots1_2$ と $1$ のみで表せるとき、 $k=0,1,2,\cdots,n$ に対して、 ${}_{n} C_{k}$ は奇数。』

ステップ４：解法（ ${}_{2015} C_{2^5}$ が偶数であること）

残すは、 $m=2^5$ の場合に、 ${}_{2015} C_{m}$ が偶数になることを示したら終わりだ。これも $2$ 進法を使うとかなり楽。

ステップ２で示したように、 $k \lt 2^5$ までは $2015\cdots(2015-k+1)$ と $31\cdots(31-k+1)$ は、 $2$ で割り切れる回数が等しい。
そこで、
　 ${}_{2015} C_{m}=\frac{2015\cdots(2015-m+1)}{m!}$
　　　　 $=\frac{2015\cdots(2015-m+2)}{(m-1)!} \cdot \frac{m}{2015-m+1}$
と分解する。 $\frac{2015\cdots(2015-m+2)}{(m-1)!}$ はステップ３の結果より奇数なので、 $m$ と $2015-m+1$ に含まれる素因数 $2$ の個数を比較すれば終わりである*12。

仮定より、 $m=2^5$ は $2$ でちょうど $5$ 回割れる。次に、
　 $2015-m+1$

$=11111011111_2-100000_2+1_2$

$=11111100000_2-100000_2$

$=11111000000_2$
となるので、 $2015-m+1$ は $2$ で $6$ 回割り切れる。
従って、 ${}_{2015} C_{2^5}$ は２で１回割り切れるので偶数。

ステップ３の結果と合わせて、 ${}_{2015} C_{m}$ が偶数となる最小の $m$ は $2^5$ であることが示せた！
というわけで、なんと……最初から最後まで $2$ 進法のターンでした！

ステップ４での結果も、ステップ３と同様にそのまま一般化できる気がしている*13。つまり、

『予想１:任意の自然数 $n$ が、 $2$ 進法で $x_N \cdots x_{k+2} x_{k+1} 0 1\cdots 1_2$ と表せるとする*14 *15、 ${}_{n} C_{m}$ が偶数となる最少の $m$ は $2^{k-1}$ 。』

正しかったら、これで完全な一般化になっているはず！
合ってたら超嬉しい！やほーーい！

*1:自分で解きたくなったから、途中までしか見てません。もし解法かぶりすぎてたら、動画をupした方、ごめんなさい。

*2:あくまで、数学は趣味と気分転換を兼ねてやってます。解けなくても、あんまり気にしないスタイル。

*3:私のときは、高校で２進法習った覚えがない

*4:と言いつつも、ステップ１の半分くらいは、自分用のメモor思考のスナップショットのつもり。

*5:それはもう、シャキーンと音が聞こえそうなくらいに、ピッタリと一致している。

*6:なんも知らない人の前でやると、「計算はえ～」という感嘆、または宇宙人を見たときのような驚き、どっちかの反応をされるかもしれません。なお、むやみに人を驚かすのは推奨してませんよ～

*7:単に怪しいとかいうレベルじゃなくて、「怪しい」。そう、「怪しい」のだ。

*8:それでも、残り７割残してるのは、 $11111011111$ が $0$ に対して対称的だから。やっぱり、それなりにオシャレなのかもしれない。

*9: $2015$ の $0$ の壁の左側の数のこと

*10: $N$ はある自然数

*11:含まれる素因数 $2$ の個数が等しいと、すっきり言ってもいい。

*12:ここで、 $\frac{m}{2015-m+1}$ が自然数ではないじゃないかと一瞬気になるかもしれませんが、素因数として含まれる $2$ の個数だけを取り扱っているので問題にはなりません。おまけに、 ${}_{2015} C_{m}$ は「組み合わせの数」を表してるので、全てかけ合わせれば必ず自然数になる。