【ダイジェスト版】 2015東大理系 数学 第5問の解法 【2進法】
前回の記事……なんか長いっ!
1つ前の記事で、2015東大理系数学第5問を2進法を使ってガンガン解いた。
ただ、この記事はたくさん寄り道していて、問題を解きたいだけの人には、余計な情報*1が多い。そんなわけで、なるべく最短ルートで解けるように書き直してみた。
表記法の約束
解法に入る前に、2進法の表記について約束事をしておく。
前回の記事で、と数字が続き過ぎて見づらかったのを反省した。
では、約束事。
「2進法で同じ数字が回続くときは、指数を使ってと表す」
例えば、はのように表す。
計算しやすさ優先で、みたいに書いたりもするけど、意味は同じ。
最後に、指数がのときは、その桁が存在しないことにする*2。
なお、この表記法を他の人が使ってるかどうかは良く知らないし、面倒なので調べない。これは、「少なくともこのブログ内で使っている表記法」だ。
できるだけ最短ルートな解法
を2進法で表すと、となる*3。
①の場合、
を2進法で表すと、その下桁がとなるような自然数が明らかに存在する*4。また、を進法で表したときの下は、
となるので、のものと一致する。
従って、任意の自然数に対して、との素因数の個数は等しい。また、
と表せるので、のときは、は奇数。
②の場合、
を2進法で表すと、
なので、 はで回まで割り切れる。従って、は偶数。
ここで①の結果より、は奇数なので、
は偶数となる。
よって、が偶数となる最小の自然数は■
以上!終わり!