【ダイジェスト版】 2015東大理系数学第５問の解法【2進法】

前回の記事……なんか長いっ！

　1つ前の記事で、2015東大理系数学第5問を2進法を使ってガンガン解いた。

sky-time-math.hatenablog.jp

　ただ、この記事はたくさん寄り道していて、問題を解きたいだけの人には、余計な情報*1が多い。そんなわけで、なるべく最短ルートで解けるように書き直してみた。

表記法の約束

解法に入る前に、2進法の表記について約束事をしておく。
前回の記事で、 $11111011111$ と数字が続き過ぎて見づらかったのを反省した。
では、約束事。

「2進法で同じ数字 $x$ が $k$ 回続くときは、指数を使って $x^k$ と表す」

例えば、 $11111011111$ は $1^5 0 1^5$ のように表す。
計算しやすさ優先で、 $1^6=1^5 1$ みたいに書いたりもするけど、意味は同じ。
最後に、指数が $0$ のときは、その桁が存在しないことにする*2。

なお、この表記法を他の人が使ってるかどうかは良く知らないし、面倒なので調べない。これは、「少なくともこのブログ内で使っている表記法」だ。

できるだけ最短ルートな解法

$2016$ を2進法で表すと、 $1^6 0^5$ となる*3。

① $m \lt 2^5$ の場合、
　 $m$ を2進法で表すと、その下 $k+1$ 桁が $1 0^k$ となるような自然数 $k \lt 5$ が明らかに存在する*4。また、 $2015-m+1$ を $2$ 進法で表したときの下 $k+1桁$ は、
　 $0^{k+1} - 1 0^k =1 0^k$
となるので、 $m$ のものと一致する。
　従って、任意の自然数 $m (\lt 2^5)$ に対して、 $2015-m+1$ と $m$ の素因数 $2$ の個数は等しい。また、
　 ${}_{2015} C_m= \frac{2015 \cdots(2015-m+1)}{m!}$
　　　　 $= \frac{2015-m+1}{m} \cdot \frac{2015-m+2}{m-1} \cdots \frac{2015}{1}$
と表せるので、 $m \lt 2^5$ のときは、 ${}_{2015} C_m$ は奇数。

② $m=2^5$ の場合、
$2015-m+1$ を2進法で表すと、
　 $1^5 0 1^5 - 1 0^5 +1 = 1^5 1 0^5 -1 0^5 =1^5 0^6$
なので、 $2015-m+1$ は $2$ で $6$ 回まで割り切れる。従って、 $\frac{2015-2^5+1}{2^5}$ は偶数。
ここで①の結果より、 ${}_{2015} C_{2^5-1}$ は奇数なので、
　 ${}_{2015} C_{2^5}={}_{2015} C_{2^5-1} \frac{2015-2^5+1}{2^5}$
は偶数となる。

よって、 ${}_{2015} C_m$ が偶数となる最小の自然数 $m$ は $2^5$ ■

以上！終わり！