1994トルコ数学オリンピックを解いてみた
1994トルコ数学オリンピック
最近twitterで「おはようございます。」すると、すぐ近くで「全て求めよ」って返ってくる呪いにかかったらしいFoxQです。というわけで今日のお題は、次の問題です。
正の整数の組(s,t)であって,t^2+1=s(s+1)を満たすようなものを全て求めよ.(1994 トルコ数学オリンピック)
— 整数問題bot② (@handmade_math) August 24, 2019
意外と簡単だった。
解答
2次方程式とみなして解く。
……(1)
のままだと、埒が明かないので、式変形して、
とする。これをsに関する2次方程式と見て、判別式をとすると、
となる。が整数となるためには判別式が平方数*1でなければいけないので、
とおける。これを変形して、
が正の整数であることに注意すると*2、
となる。これを解いて、
これを(1)式に代入して解くと、
のみが解であることがわかる。
2013インド数学オリンピックを解いてみた
追記(2019/08/24):(10)式の第1因子からとしたところに、証明の飛躍があったので修正しました。
2013インド数学オリンピック
今日はtwitterで見かけた以下の問題を解いていた。
正の整数m,nと5以上の素数pであって, m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)を満たすようなものを全て求めよ.(2013 インド数学オリンピック)
— 整数問題bot② (@handmade_math) August 22, 2019
因数分解と場合分け
まずは、因数分解していく作戦をとる。
これを強引に因数分解すると、
……(1)
となる。がで割り切れる場合と、がで割り切れる場合に場合分けする。
①がで割り切れる場合
法をとして、
よって、
と書ける。このとき、(1)式より、をで割って、
を得る。よって、を正の整数として、
……(2)
……(3)
と書ける。は以上の素数なので、
である。(2)式より、
これを(3)式にをかけたものに代入して、
……(4)
そこで、を法とすると、とに注意して、
これを満たす素数は、のみである。
ところで、(4)式に戻って法をにとると
なので、
となり、矛盾である。よって、はで割り切れない。
②がで割り切れる場合
これは、がの倍数であることを意味するので、
とおく。(1)式に戻って、で割ると、
……(5)
を得る。よって、を正の整数として、
……(6)
……(7)
と書ける。は以上の素数なので、
である。また、
なので、(7)式にをかけて、代入すると、
ここで、を法とすると、とに注意して、
を得る。これを満たす素数は
のみである。(6)式より、
なので、この方程式の解はを法としてただ1つだけ存在する。その値は、
よって、を正の整数として、
……(8)
と表せる。したがって、
……(9)
である。(5)式に(8)式を代入すると、
……(10)
ここで、第1因子が7の冪乗になるためには、
なので、を正の整数として、第1因子がになったとすると
……(11)
となる。これを(10)式の第2因子に代入すると、第2因子は、
これはのとき明らかにの冪乗にならない。よって、で、(11)式より
となる。このとき、(9)式より、
また、(10)式より、
となる。
解答
よって、求める解は、
である。
【twitter】ウクライナ数学オリンピック2009を解いてみた【数学オリンピック】
ウクライナ数学オリンピック2009
twitterで見かけた問題を解いてみた。よくある「~を満たすものを全て求めよ。」系の次の問題である。
素数pと正の整数mであって,2p^2+p+9=m^2を満たすようなものを全て求めよ.(2009 ウクライナ数学オリンピック)
— 整数問題bot② (@handmade_math) August 8, 2019
解答(序盤)
とまずは変形する。
は素数なので、またはを割り切る。
なので、場合分けしていく。
①がの倍数のとき
……(1)
とおくと、
とでまとめて、
……(2)
ここで、左辺は正であるから右辺も正でなければいけない。よって、しかありえない。このとき、(1)(2)式より、
となる。
②がの倍数のとき
こちらの方が少し難しい。
とおくと、
とでまとめて、
……(3)
を得る。不等式による絞り込みを使いたいので、素数による絞り込みを使う。は題意を満たさないので*1
である。これを上式に代入して、
を得る。式変形してを次のように定義する。
……(4)
ここで、
より、上の不等式(4)の解はに注意して
となる。(3)式より、は右辺だけが負になるので不適。は
となり、は偶数ではないので不適。
解答(おわり)
よって、求める解は
のみであることがわかった。
*1:は平方数ではない。
【リーマン予想】約数関数を計算してみた
約数関数
自然数に対して、約数関数は次のように定義される。
……①
つまり、の全ての約数の乗の総和である。詳しくは、約数関数 - Wikipediaを参照。を特に、と書く。
リーマン予想と約数関数
wikiによると、この約数関数が次の不等式を満たすとき、リーマン予想も真であるらしい。
……②
ここで、はオイラーの定数(オイラーの定数 - Wikipedia)である。*1
そこで、具体的に大きなに対して、上の不等式が成り立つかチェックしてみることにした。
数値計算で求めた約数関数
Pythonで、約数関数を計算したものが次の図である。青線が約数関数で、オレンジ色の線が②式の右辺の式である。まずは、までを見てみた。
不等式が成り立たないがいくつかあるが、まだなので問題ない。
次に、までを見てみる。
ちょうどでは、不等式は成り立たないことがわかった。
次に、までを見てみた。
②の不等式が成り立っていることが確認できた。さらに、までを見てみる。
結構きわどいところまで約数関数の値が大きくなっているところもあるが、やはり②の不等式は成り立っている。計算時間の都合上、今回はここまでで計算をやめた。今回計算した範囲では、リーマン予想の反証は得られなかった。
約数関数
最後におまけとして、約数関数をを変えながら、プロットした図も調べてみた。これは、英語版wiki(Divisor function - Wikipedia)に乗っているものの再計算と追加計算になる。以下、までとする。
まずは、から、
これは、約数の個数をカウントしたものになる。ところどころ、値が2になっているところが素数に対応している。からまでを一気に見ていこう。
のの値が大きくなるにつれ相対的な値のばらつきが小さくなっていくことがわかった。
のときのでの上限が、②式で与えられることを考えると、になんらかの因子をかけたものが、のが十分大きいときの上限になると予想される。だが、具体的な式の形は今のところわからない。
合成数へ一般化されたウラムの螺旋
ウラムの螺旋の一般化
前回、ウラムの螺旋を描くプログラムを書いたので、それをちょっとだけ改造して何か面白いことができないかと思った。
そこで、ウラムの螺旋を一般化してみることにした。つまり、素数の点だけをプロットするのがウラムの螺旋なら、2つの素数の積で表せる数を「2-ウラムの螺旋」と呼べるだろうし、3つの素数の積なら「3-ウラムの螺旋」ができるはずである。
プログラムの変更は簡単だったので、早速やってみた。
2-ウラムの螺旋
2つの素数の積で表される合成数のみを螺旋状にプロットしたものが「2-ウラムの螺旋」である。までプロットしてみるとこうなる。2つの素数の積で表される数を黄色、その他の数を緑でプロットしてある。
素数が飛び飛びであったのに対して、通常のウラムの螺旋では見られなかった「クラスター」が見られる。まででは、
とやはりクラスターがたくさんできている。までも見てみる。
クラスターがたくさんあって、輪っか状や釣鐘状になっているのがみられる。若干、中央に近い方が大きなクラスターが多いようにも見える。このようにクラスターがたくさんできるというのが「2-ウラムの螺旋」の特徴らしい。
3-ウラムの螺旋
3つの素数の積で表される数を水色、他の数を緑でプロットしたものをみてみる。
まずは、まで、
「2-ウラムの螺旋」に対して、クラスターが少し小さくなっている。までを見てみよう。
やはり、クラスターが小さくなっている。最後に、を見る。
「2-ウラムの螺旋」とは対照的に、中央から離れるほど、クラスターのサイズが大きくなっているように見える。また、うっすらと緑の直線が右下から左上へ中央を通っていくようにも見えている。これは、通常のウラムの螺旋のなごりだろうか。
重ねて書いてみた
通常のウラムの螺旋を赤色、2-ウラムの螺旋を黄色、3-ウラムの螺旋を水色、その他の数を緑にして同時にプロットした図も参考までに載せておく。
までは
中央にある2つの緑が0と1である。までは、
結構カオスな感じになってきたが、最後にも参考までに載せておく。
以上、一般化されたウラムの螺旋のお話でした。「もっとこうしたら面白いかも」とかのアイデアがあったら、言ってほしいです。気が向いたらやってみます。
、
【クリスマス】ウラムの螺旋描いてみた
ウラムの螺旋
ウラムの螺旋とは、自然数の螺旋上に並べ素数だけを塗りつぶしたものである。詳しくは、ウラムの螺旋 - Wikipediaを参照。今回描くウラムの螺旋は、数学ガールの秘密ノート整数で遊ぼうを参考にして、0から始まるものにしてある。
クリスマスカラーのウラムの螺旋
今回は、自分でウラムの螺旋を描いてみた。使った言語は、勉強中のPython。せっかくなので、季節に合わせてクリスマスカラーにしてみた。他の配色のウラムの螺旋が欲しい人がいたら、いってくれたら作ります(rgbを指定してくれると作れます)。
まずは、100までの素数のウラムの螺旋。素数は赤色、合成数は緑で表示してある。
次は、1000までのもの。直線上に素数が並んでるように見える。
10000までのもの。いくつかの直線に並んだ模様が見える。
最後に、100000までのもの。点が細かすぎてよくわからなくなってきたので、ここまでにする。
再配布・ご利用について
完全にフリー素材としますので、好きなものがあったら、ご自由に使用してくださって構いません。
【近似解の見直し】ぺるせんたげさんの数学コンテスト【問Ⅱ】
ぺるせんたげさんの数学コンテストの問Ⅱの解と近似解
ぺるせんたげさん(@percentage011)が前回取り上げた問題の答えを公開してくれた。
数学コンテストのⅡ問目の解答例です
— ぺるせんたげ@数学コンテスト開催中 (@percentage011) November 3, 2018
間違いがあったら教えてください pic.twitter.com/MAfYZtIcwE
そこで、前回作った近似解と比較してみることにした。
まず、で比較してみる。オレンジが前回作った近似解で、青がぺるせんたげさんの厳密解だ。
次に、で比較すると、値のずれが目立ってくる。
特に、が大きくなると、近似解の方が明らかに大きな値を持つようになってきてしまっている。
このずれがどこからきたのかを考えていたのだが、おそらく前回の記事の(4)式の規格化定数を(6)式で計算したのがまずかったようだ。そこで、今回は規格化定数を本来の正規分布のものに戻すと、どれくらい近似が改良されるのかを見てみることにする。
近似の改良
前回と同様にして計算するが、サイコロの目の平均値が従う分布関数を
……(1)
と近似する。これ以降の計算は、前回の記事と同様である。
まず、規格化定数の値を見てみると、
……(2)
と前回のより5~6倍ほど小さくなる。*1これを見て、近似は(1)式の正規分布でした方が良いと反省した。改めて、での値を見積もると、
……(3)……(4)……(5)
前回の記事と同様に、これらの値から求める確率は、
……(6)
となる。これにパラメータを用いた因子をかけて補正することを考える。つまり、
……(7)
として、の小さい値からパラメータを決定して、最終的な近似式とする。
より、
……(8)
より、
……(9)
より、
……(10)
以上より、
……(11)
と近似式が求まった。
改良版近似式と厳密解の比較
改めて作った式と厳密解とでを比較してみる。
前回と同様ほとんど違いが見られない。
次に、を見てみる。オレンジが前回の近似式で、緑が今回の近似式、青が厳密解である。
が大きいところでの値が若干良くなっているくらいで、思ったほど改善されなかった。さらに大きいくらいまでを見てみる。
厳密解との差がさらに大きくなった。のでの収束が近似解の場合かなり遅く、厳密解だとかなり早いことがわかった。これは(7)式の形で近似していることからくる限界だろう。
そして、厳密解の場合のの値はどうやら0.1よりも小さいようなので、前回の近似で得られる
……(12)
は明らかに不適だとわかる。今回の近似では、十分大きなをとる必要があり、収束も遅いものの、
……(13)
なので、まだマシだと言えるだろう。厳密解の値を見ていても、私には本当のの値がわからないので真実は謎のままだ。
*1:この記事では、有効数字3桁で計算していく。