【問Ⅱ】ぺるせんたげさんの数学コンテスト【近似解】

ぺるせんたげさんの数学コンテストの問Ⅱ

　今回はぺるせんたげさん(@percentage011)の数学コンテストの問Ⅱの「近似解」を作ったので、それを紹介したいと思います。問題文は、以下のツイートを参照してください。

数学コンテストを開催します！

以下の問題を考えてみてください
制限時間とかは特にないです
最初に全て解けた人をめっちゃ褒めます

問題制作者:ぺるせんたげ @percentage011
協力してくれた人:SOx @SOx_S_R_M pic.twitter.com/sejhERZTdR
— ぺるせんたげ@数学コンテスト開催中 (@percentage011) October 27, 2018

　私の実力では近似解*1を出すだけで精一杯だったので、厳密な解き方がわかった方がいたらぜひ教えてください。

$n$ 個のサイコロと平均値

　 $n$ 個のサイコロをふって、出た目の総和が $n$ の倍数になるのは、総和が $n,2n,3n,4n,5n,6n$ の6通りの場合である。よって、総和がそれぞれの値になる確率を見積もって、それらを全て足し合わせれば、それが求める確率 $P(n)$ になる。
　サイコロの個数が多い場合を考えて、総和の値を取り扱う代わりに平均値に着目することにする。つまり、サイコロの目の平均値がちょうど $1,2,3,4,5,6$ になる確率を $p(1),p(2),p(3),p(4),p(5),p(6)$ とすると、それらの和が求める確率になる。

$P(n)=p(1)+p(2)+\cdots+p(6)$ ……(1)

1個のサイコロを多数回ふった時の期待値を $\mu$ 、分散を $\sigma^2$ として、定義より計算すると、

$\mu=3.5$ ……(2)
$\sigma^2=\frac{35}{12}$ ……(3)

となる。各々のサイコロは独立同分布に従うとすると、中心極限定理より、サイコロの個数 $n$ が十分多いとき、サイコロの目の平均値 $X$ の分布は正規分布で近似できる。その分布関数を $f(X;\mu,\sigma^2)$ とすると、

$f(X;\mu,\sigma^2) \simeq A \exp(-\frac{(X-\mu)^2}{2\sigma^2})$ ……(4)

と近似できる。ここで、 $A$ は確率分布関数の規格化定数である。ただし、 $n$ が有限である限り、平均値は

$1 \le X \le 6$ ……(5)
の範囲になければいけないので、正規分布の定義域を本来の $X \in (-\infty,\infty)$ から $X \in (1,6)$ に制限しなければいけない。この意味で、いくらかの任意性の残る近似をする必要があり、ここでは規格化定数の値を変更することにした。*2すなわち、規格化定数 $A$ を

$\int_1^6 f(X;\mu,\sigma^2) \mathrm{d} X = 1$ ……(6)

によって定める。数値計算でこの値を求めると*3、

$A \simeq 1.36$ ……(7)

となる。

平均値がちょうど1,2,3,4,5,6に一致するとは

　 $n$ 個のサイコロの目の平均値がとりうる値の場合の数は、目の総和の取りうる場合の数に等しい。*4すなわち、

$6n-n+1=5n+1$ ……(8)

通りの場合がある。これより、 $1 \le X \le 6$ の区間を $5n+1$ 等分して取り扱う。すなわち、ある１つの区間は、平均値がある１つの値になる場合に相当し、各区間の幅の値を $\delta$ とおくと、

$\delta=\frac{6-1}{5n+1}=\frac{5}{5n+1}$ ……(9)

となる。そして、1,2,3,4,5,6の値を含む区間における $f(X;\mu,\sigma^2)$ の積分値を用いて、 $p(1),p(2),\cdots,p(6)$ と見積もることができる。すなわち、 $k=1,2,3,4,5,6$ として、その確率は、

$p(k) \simeq \int_{k-\delta/2}^{k+\delta/2} f(X;\mu,\sigma^2) \mathrm{d} X$ ……(10)

　 $n$ が十分大きいとき、分布関数が連続なため、ある１つの着目した区間内における $f(X;\mu,\sigma^2)$ の値は一定値と見なして近似できる。つまり、

$f(X;\mu,\sigma^2) \simeq f(k;\mu,\sigma^2) \quad (k-\frac{\delta}{2} \le X \lt k+\frac{\delta}{2} )$ ……(11)

と近似できる。したがって、(10)(11)式より、

$p(k) \simeq \delta f(k;\mu,\sigma^2)$ ……(12)

が得られる。これらの値を数値計算で見積もると、

$f(1;\mu,\sigma^2)=f(6;\mu,\sigma^2) \simeq 1.99 \times 10^{-16}$ ……(13)
$f(2;\mu,\sigma^2)=f(5;\mu,\sigma^2) \simeq 2.71 \times 10^{-6}$ ……(14)
$f(3;\mu,\sigma^2)=f(4;\mu,\sigma^2) \simeq 0.316$ ……(15)

と見積もられらた。*5従って、(1)(12)式より、 $n$ が十分大きいとき、求める確率 $P(n)$ は有効数字３桁で、

$P(n) \simeq \frac{3.16}{5n+1}$ ……(16)

に漸近する。このままでいくと、この式は $n$ が十分大きいときに良い近似となるが、 $n$ が小さいときは値が大きくずれる可能性がある。そこで、この式にある適当な補正の因子をかけてみることにした。*6具体的には、3つのパラメータ $a,\kappa(\gt 0),\gamma$ を導入して、

$P(n) \simeq \frac{3.16[ 1 + a \exp (-\kappa (n-1)^\gamma) ]}{5n+1}$ ……(17)

と近似してみた。これらのパラメータを $n$ が小さいときの値、つまり、 $P(1),P(2),P(3)$ から決定し、最終的な近似式とする。

$n$ が小さいときの確率 $P(n)$

(i) $n=1$ の場合、明らかにどの目が出ても1の倍数なので、

$P(1)=1$ ……(18)

(ii) $n=2$ の場合、具体的に全ての場合を書き出すことで、

$P(2)=\frac{1}{2}$ ……(19)

とわかる。

(iii) $n=3$ の場合、サイコロを２つふった時点での目の総和が、①3の倍数になるとき、②3で割ったとき1余るとき、③3で割ったとき2余る確率はそれぞれ等しいことが、具体的に全ての場合を書き下すことでわかる。①の場合、3つ目のサイコロの目が3か6ならば、3つのサイコロの目は3の倍数になる。同様にして、②③の場合も、３つ目のサイコロをふったとき、それぞれ2,5と1,4がでれば、目の総和が3の倍数になる。以上をまとめると、

$P(3)=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$ ……(20)

であることがわかる。

近似パラメータの決定

　(17)式のパラメータを $n=1,2,3$ の時の値を求めて決定する。
　 $n=1$ のとき、(17)(18)式より、数値的に見積もって、

$a \simeq 0.899$ ……(21)

となる。次に、 $n=2$ のとき、(17)(19)式より、数値的に見積もって、

$\kappa \simeq 0.194$ ……(22)

となる。最後に、 $n=3$ のとき、(17)(20)式より、数値的に見積もって、

$\gamma \simeq 0.465$ ……(23)

となる。以上をまとめて、最終的な近似式を書き出すと、

$P(n)\simeq \frac{3.16 [ 1+0.899 \exp( - 0.194 (n-1)^{0.465} ) ] }{5n+1}$ ……(24)

となる。

$P(6)$ の見積もりと $P(n)$ の漸近的なふるまい

　得られた近似式を用いて、試しに $n=6$ の場合を見積もってみると、

$P(6) \simeq 0.163$ ……(25)

となり、 $\frac{1}{6}\simeq 0.167$ に非常に近いことがわかる。
　これより、 $P(n)$ は、 $n$ が小さいときは、おおよそ $\frac{1}{n}$ となるが、 $n$ が大きくなるにつれて $\frac{1}{n}$ からずれていき、(16)式の値に近づいていくことがわかる。 $n \rightarrow \infty$ での漸近的なふるまいを評価すると、