2次方程式の複素数解とグラフの幾何学的関係

2次関数

$y=ax^2+bx+c$

$ax^2+bx+c=0$

を考える。2次方程式が実数解を持つとき、その解は、 $y=ax^2+bx+c$ と $y=0$ の交点で与えられる。

それでは、複素数解を持つときはどうなるだろうか？

幾何学的に考察してみよう。

2次方程式が実数解を持たないと仮定すると、

$x=\frac{-b\pm \sqrt{4ac-b^2} i }{2a}$

一方 $y=ax^2+bx+c$ のグラフの頂点は、

$y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)bx+\frac{4ac-b^2}{4a}$

より、 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a} \right)$

となる。

さて、このようにして得られたグラフの頂点を、元のグラフの頂点と比べる。すると、ｘ座標は同じで、ｙ座標はいくらかずれている。そして、そのｘ座標は2次方程式の複素数解の実部に等しく、ｙ座標は2次方程式複素数解の虚部の定数倍に等しい。

このようにして、2次方程式の複素数解と元のグラフとの関係が得られた。

実数解の場合グラフの軸から等距離にｘ軸方向に等距離にずれた位置の点に解があった。複素数解の場合、グラフの頂点からy軸方向にｘ軸から上下に等距離ずれた位置の点に対応する解がある。

このように実数解の場合も複素数解の場合も、ｘ軸上のある点から等距離ずれた場所に２つの解に対応する点があることが分かった。

流れる空の中で数学を。