流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

【未完成】2変数n(=1,2,3)次方程式の標準形【楕円曲線】

楕円曲線数学射影幾何

多少、いやかなり幾何学的直観を用いて式変形をしているので、この記事が正しいかどうかは疑って読んでください。また、計算の間違いを見つけてかつ修正できる方がいたらぜひ教えていただきたいです。

この記事の目的

n(=1,2,3)次の２変数方程式を有理変換により、なるべく単純な形(n=3のときをワイヤシュトラスの標準形と言う)に変形すること。

2(+1)変数1次方程式

$ax+by+c=0$

を考えてみよう。新しい変数ｚを導入して、

$ax+by+cz=0$

と書き直せる。

$z=1$ で2変数の方程式を得る。

平面の傾きを変えるように変数変換(有理変換)することで、有理数の解が2つ存在すれば、点 $(0,1,0),(0,0,1)$ を同時に通るようにできる。よって、

$b=c=0$

とおける。つまり、

$ax=0$

$x=0$

に書き直せる。

2(+1)変数2次方程式

$ax^2+bxy+cy^2+dxz+eyz+fz^2=0$

を考える。新しい変数 $z$ を導入すると、

$ax^2+bxy+cy^2+dxz+eyz+fz^2=0$

$z=1$ で2変数の方程式を得る。 $x,y,z$ についての2次方程式なので、有理数解が存在すれば、適当な有理変換変換により、球上に乗ると考えられるので $(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)$ を通るようにできると推測できる。

つまり、

$a+b+c=0$

$c+e+f=0$

$a+d+f=0$

つまり、6個のパラメータの内、3つがこの方程式を解き、変数変換により消せると考えらるので、 $b=d=e=0$ とすると、

$ax^2+by^2+cz^2=0$

と表せる。 $b$ で両辺を割って整理すると、

$y^2=ax^2+b$

と書き直せる。

2変数3次方程式

特異でない(接線が引ける)3次方程式を考える。

$ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3+ex^2z+fxyz+gy^2z+hxz^2+iyz^2+jz^3=0$

とすると、 $z=1$ で2変数の方程式を得る。 $x,y,z$ についての3次方程式なので、適当な有理変換変換により、複素平面上のトーラスになることが知られているので、 $(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,-1,0),(0,1,1),(0,-1,1)$ を通るようにできると推測できる。

このとき、

$d=j=0$

$a+b+c+d=0$

$a-b+c-d=0$

$d+g+i+j=0$

$d-g+i-j=0$

つまり、10個のパラメータの内、6つがこの方程式を解き、変数変換により消せると考えらるので、 $b=c=d=e=f=i=0$ とすると、係数を書き直して、

$ax^3+gy^2z+hxz^2+jz^3=0$

$ay^2z=bx^3+cxz^2+dz^3$

ここで、 $y=a^3x,x=a^2y$ とおき、係数を書き直し、 $z=1$ とすると、

$y^2=x^3+ax^2+bx+c$

となる。最後に、 $x\rightarrow x -a/3$ とおき係数を整理すると、

$y^2=x^3+ax+b$

と楕円曲線の標準形の式を得る。