流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

1変数有理数係数k次方程式の有理数解の絞り込み方

オリジナル数学プログラミング

1変数有理数係数k次方程式

有理数係数の $k$ 次方程式を考える。

$a_k x^k+\cdots+a_0=0$

$a_k,\cdots,a_0$ の分母の自然数の最小公倍数を両辺にかけると、係数を整数に変換できるので、以降は、整数係数のk次方程式を考えることにする。

有理数解を互いに素な自然数、 $m\ge 1,n$ を用いて、 $x=n/m$ と表し、これを方程式に代入して、 $m^k$ をかけると、

$a_k n^k+a_{k-1}n^{k-1}m+\cdots+a_1n m^{k-1}+a_0m^k=0$

ここで、

$n(a_k n^{k-1}+a_{k-1}n^{k-2}m+\cdots+a_1 m^{k-1})=-a_0m^k$

より、 $m$ と $n$ が互いに素なことに注意すると、 $n$ は $a_0$ を割り切る。つまり、 $n$ は $a_0$ の約数である。

同様にして、

$m(a_{k-1}n^{k-1}+\cdots+a_1 nm^{k-2}+a_0 m^{k-1})=-a_kn^k$

より、 $m$ と $n$ が互いに素なことに注意すると、 $m$ は $a_k$ の約数である。

例

① $x^5-\frac{3}{2}x^4+3n^3-\frac{11}{2}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}=0$

両辺に2をかけて、

$2x^5-3x^4+6x^3-11x^2+x+3=0$

$x=n/m$ とおくと、 $n$ は3の約数、 $m$ は2の正の約数となる。

よって、有理数解の候補は、 $\{\pm 1,\pm 3, \pm 1/2 , \pm 3/2 \}$ 、これを代入すると、求める有理数解は、 $x=3/2$ 。

プログラム

整数係数に変換してからご利用ください。

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