流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

一般化されたマスターデーモンの解のリスト

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一般化されたマスターデーモン

今回扱う一般化されたマスターデーモンは次の問題である。

自然数r,n,k\ge2に対して、

\frac{r^n+1}{n^k}

自然数となうるようなnを全て求めよ。
このような解の集合を以後、

D(n,k)

と書くことにする。

D(n,k)=\phi

は解なしという意味である。*1
今回公開する解のリストは、計算過程で素因巣分解ができたものの内、数が大きくなりすぎないものを集めたものである。よって、リストは一部の例外をのぞいて不完全である。不完全な場合は「\cdots」記号で示しておく。*2つまり、「\cdots」記号がないものはそれで全ての解である。ちなみに、最小解はリストの最初に必ず入っている。また、証明は過去記事を見ればほとんど明らかなので省略する。ちなみに、n^2n^kになっているが、この違いは簡単な不等式の評価ですむ。

 

sky-time-math.hatenablog.jp

 今回紹介するリストは、r=2,\cdots,50までと、興味深いr=80の場合である*3*4
なお、万が一リストに間違いを見つけた方がいたら優しく教えてほしい。

r=2,\cdots,10までのリスト

r=2の場合

D(2,2)=\{3\}
D(2,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=3の場合

D(3,k)=\phi \; (k \ge 2)

r=4の場合

D(4,2)=\{5,205,\cdots\}
D(4,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=5の場合

D(5,2)=\{3,21,609,903,2667,9429,159663,\cdots\}
D(5,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=6の場合

D(6,2)=\{7,203,1379,\cdots\}
D(6,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=7の場合

D(7,k)=\phi \; (k \ge 2)

r=8の場合

D(8,2)=\{3,57,9,171,784899,32547,9961491,\cdots\}
D(8,3)=\{3\}
D(8,k)=\phi \; (k \ge 4)

r=9の場合

D(9,2)=\{5,5905,\cdots\}
D(9,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=10の場合

D(10,2)=\{11,253,45023,96569,\cdots\}
D(10,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=11,\cdots,20までのリスト

r=11の場合

D(11,2)=\{3,111,\cdots\}
D(11,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=12の場合

D(12,2)=\{13,1027,468481,2890927,\cdots\}
D(12,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=13の場合

D(13,2)=\{7,203,154553,\cdots\}
D(13,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=14の場合

D(14,2)=\{3,15,183,5,355,505,\cdots \}
D(14,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=15の場合

D(15,k)=\phi \; (k \ge 2)

r=16の場合

D(16,2)=\{17,6029713,\cdots\}
D(16,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=17の場合

D(17,2)=\{3,21,39,9,63,117,12807,50877,\cdots\}
D(17,3)=\{3\}
D(17,k)=\phi \; (k \ge 4)

r=18の場合

D(18,2)=\{19,372742,\cdots\}
D(18,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=19の場合

D(19,2)=\{5,55,11255,\cdots\}
D(19,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=20の場合

D(20,2)=\{3,21,381,7,5789,73703,\cdots\}
D(20,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=21,\cdots,30までのリスト

r=21の場合

D(21,2)=\{11,253,66803,113987819,\cdots\}
D(21,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=22の場合

D(22,2)=\{23,1081,10603,31763,44459,\cdots\}
D(22,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=23の場合

D(23,2)=\{3,39,507,33501,\cdots\}
D(23,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=24の場合

D(24,2)=\{5,55,28955,25,275,3775,144775,198775,2162525,\cdots\}
D(25,3)=\{5\}
D(25,k)=\phi \; (k \ge 4)

r=25の場合

D(25,2)=\{13,689,\cdots\}
D(25,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=26の場合

 D(26,2)=\{3,21,93,9,63,279,27,189,837,42309,651,

                       ,903,1491,4431,105861,\cdots\}
D(26,3)=\{3\}
D(26,4)=\{3\}
D(26,k)=\phi \; (k \ge 5)

r=27の場合

D(27,2)=\{ 7,301,3829,15883,\cdots \}
D(27,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=28の場合

D(28,2)=\{29,1172383,\cdots \}
D(28,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=29の場合

D(29,2)=\{3,15,813,5,55,155,2005,465,4065,6015,\cdots\}
D(29,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=30の場合

D(30,2)=\{31,126883,603539,1510723,3601859,\cdots\}
D(30,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=31,\cdots,40までのリスト

r=31の場合

D(31,k)=\phi \; (k \ge 2)

r=32の場合

D(32,2)=\{3,33,993,11,7513,32681,538037401,2211,10923,22539,\cdots\}
D(32,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=33の場合

D(33,2)=\{17,\cdots\}
D(33,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=34の場合

D(34,2)=\{5,35,1298155,7,203,497,728833,2485,\cdots\}
D(34,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=35の場合

D(35,2)=\{3,39,111,291,9,117,333,657,873,4869,496053

                      ,3783,6123,12207,\cdots\}
D(35,3)=\{3\}
D(35,k)=\phi \; (k \ge 4)

r=36の場合

D(36,2)=\{37,\cdots\}
D(36,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=37の場合

D(37,2)=\{19,3629,\cdots\}
D(37,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=38の場合

D(38,2)=\{39,\cdots\}
D(38,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=39の場合

D(39,2)=\{5,55,205055,\cdots\}

r=40の場合

D(40,2)=\{41,\cdots\}
D(40,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=41,\cdots,50までのリスト

r=41の場合

D(41,2)=\{3,21,1641,7,497,1491,11487,\cdots\}
D(41,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=42の場合

D(42,2)=\{43,\cdots\}
D(42,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=43の場合

D(43,2)=\{11,253,737,\cdots\}
D(43,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=44の場合

D(44,2)=\{3,15,1893,9,45,5679,136251,5,2105,8705,465,6315,9465,\cdots\}
D(44,3)=\{3\}
D(44,k)=\phi \; (k \ge 4)

r=45の場合

D(45,2)=\{23,1081,10603,635881,749087,\cdots\}
D(45,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=46の場合

D(46,2)=\{47,\cdots\}
D(46,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=47の場合

D(47,2)=\{3,21,309,2163,74109,123501,\cdots\}
D(47,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=48の場合

D(48,2)=\{7,49,\cdots\}
D(48,3)=\{7\}
D(48,k)=\phi \; (k \ge 4)

r=49の場合

D(49,2)=\{15,1405,20105,25,2525,7025,100525,325025,632525,\cdots\}
D(49,3)=\{5\}
D(49,k)=\phi \; (k \ge 4)

r=50の場合

D(50,2)=\{3,51,57,129,17\}
D(50,k)=\phi \; (k \ge 3)

r=80の場合

D(80,2)=\{3,21,129,147,609,903,2667,100569,387,1161,\cdots\}
D(80,3)=\{3,21,129,9,387,\cdots \}
D(80,4)=\{3\}
D(80,5)=\{3\}
D(80,k)=\phi \; (k \ge 6)

 

 

*1:ちなみに、r=2^m-1と表せるとき、つまりrメルセンヌ数のときは、常に解なしである。

*2:ちなみに、残りの解は必ず、リストに含まれる素数の倍数になっている。

*3:なんと、D(80,5) \neq \phiである!

*4:一般に、pを奇素数として、r=p^m-1とあらわされるとき、mが大きければ、大きなkまで解を持つ傾向にある。