一般化されたマスターデーモンの解のリスト

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一般化されたマスターデーモン

今回扱う一般化されたマスターデーモンは次の問題である。

自然数 $r,n,k\ge2$ に対して、

$\frac{r^n+1}{n^k}$

が自然数となうるような $n$ を全て求めよ。
このような解の集合を以後、

$D(n,k)$

と書くことにする。

$D(n,k)=\phi$

は解なしという意味である。*1
今回公開する解のリストは、計算過程で素因巣分解ができたものの内、数が大きくなりすぎないものを集めたものである。よって、リストは一部の例外をのぞいて不完全である。不完全な場合は「 $\cdots$ 」記号で示しておく。*2つまり、「 $\cdots$ 」記号がないものはそれで全ての解である。ちなみに、最小解はリストの最初に必ず入っている。また、証明は過去記事を見ればほとんど明らかなので省略する。ちなみに、 $n^2$ が $n^k$ になっているが、この違いは簡単な不等式の評価ですむ。

sky-time-math.hatenablog.jp

今回紹介するリストは、 $r=2,\cdots,50$ までと、興味深い $r=80$ の場合である*3 *4。
なお、万が一リストに間違いを見つけた方がいたら優しく教えてほしい。

$r=2,\cdots,10$ までのリスト

$r=2$ の場合

$D(2,2)=\{3\}$
$D(2,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=3$ の場合

$D(3,k)=\phi \; (k \ge 2)$

$r=4$ の場合

$D(4,2)=\{5,205,\cdots\}$
$D(4,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=5$ の場合

$D(5,2)=\{3,21,609,903,2667,9429,159663,\cdots\}$
$D(5,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=6$ の場合

$D(6,2)=\{7,203,1379,\cdots\}$
$D(6,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=7$ の場合

$D(7,k)=\phi \; (k \ge 2)$

$r=8$ の場合

$D(8,2)=\{3,57,9,171,784899,32547,9961491,\cdots\}$
$D(8,3)=\{3\}$
$D(8,k)=\phi \; (k \ge 4)$

$r=9$ の場合

$D(9,2)=\{5,5905,\cdots\}$
$D(9,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=10$ の場合

$D(10,2)=\{11,253,45023,96569,\cdots\}$
$D(10,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=11,\cdots,20$ までのリスト

$r=11$ の場合

$D(11,2)=\{3,111,\cdots\}$
$D(11,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=12$ の場合

$D(12,2)=\{13,1027,468481,2890927,\cdots\}$
$D(12,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=13$ の場合

$D(13,2)=\{7,203,154553,\cdots\}$
$D(13,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=14$ の場合

$D(14,2)=\{3,15,183,5,355,505,\cdots \}$
$D(14,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=15$ の場合

$D(15,k)=\phi \; (k \ge 2)$

$r=16$ の場合

$D(16,2)=\{17,6029713,\cdots\}$
$D(16,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=17$ の場合

$D(17,2)=\{3,21,39,9,63,117,12807,50877,\cdots\}$
$D(17,3)=\{3\}$
$D(17,k)=\phi \; (k \ge 4)$

$r=18$ の場合

$D(18,2)=\{19,372742,\cdots\}$
$D(18,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=19$ の場合

$D(19,2)=\{5,55,11255,\cdots\}$
$D(19,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=20$ の場合

$D(20,2)=\{3,21,381,7,5789,73703,\cdots\}$
$D(20,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=21,\cdots,30$ までのリスト

$r=21$ の場合

$D(21,2)=\{11,253,66803,113987819,\cdots\}$
$D(21,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=22$ の場合

$D(22,2)=\{23,1081,10603,31763,44459,\cdots\}$
$D(22,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=23$ の場合

$D(23,2)=\{3,39,507,33501,\cdots\}$
$D(23,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=24$ の場合

$D(24,2)=\{5,55,28955,25,275,3775,144775,198775,2162525,\cdots\}$
$D(25,3)=\{5\}$
$D(25,k)=\phi \; (k \ge 4)$

$r=25$ の場合

$D(25,2)=\{13,689,\cdots\}$
$D(25,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=26$ の場合

$D(26,2)=\{3,21,93,9,63,279,27,189,837,42309,651,$

$,903,1491,4431,105861,\cdots\}$
$D(26,3)=\{3\}$
$D(26,4)=\{3\}$
$D(26,k)=\phi \; (k \ge 5)$

$r=27$ の場合

$D(27,2)=\{ 7,301,3829,15883,\cdots \}$
$D(27,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=28$ の場合

$D(28,2)=\{29,1172383,\cdots \}$
$D(28,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=29$ の場合

$D(29,2)=\{3,15,813,5,55,155,2005,465,4065,6015,\cdots\}$
$D(29,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=30$ の場合

$D(30,2)=\{31,126883,603539,1510723,3601859,\cdots\}$
$D(30,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=31,\cdots,40$ までのリスト

$r=31$ の場合

$D(31,k)=\phi \; (k \ge 2)$

$r=32$ の場合

$D(32,2)=\{3,33,993,11,7513,32681,538037401,2211,10923,22539,\cdots\}$
$D(32,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=33$ の場合

$D(33,2)=\{17,\cdots\}$
$D(33,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=34$ の場合

$D(34,2)=\{5,35,1298155,7,203,497,728833,2485,\cdots\}$
$D(34,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=35$ の場合

$D(35,2)=\{3,39,111,291,9,117,333,657,873,4869,496053$

$,3783,6123,12207,\cdots\}$
$D(35,3)=\{3\}$
$D(35,k)=\phi \; (k \ge 4)$

$r=36$ の場合

$D(36,2)=\{37,\cdots\}$
$D(36,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=37$ の場合

$D(37,2)=\{19,3629,\cdots\}$
$D(37,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=38$ の場合

$D(38,2)=\{39,\cdots\}$
$D(38,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=39$ の場合

$D(39,2)=\{5,55,205055,\cdots\}$

$r=40$ の場合

$D(40,2)=\{41,\cdots\}$
$D(40,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=41,\cdots,50$ までのリスト

$r=41$ の場合

$D(41,2)=\{3,21,1641,7,497,1491,11487,\cdots\}$
$D(41,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=42$ の場合

$D(42,2)=\{43,\cdots\}$
$D(42,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=43$ の場合

$D(43,2)=\{11,253,737,\cdots\}$
$D(43,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=44$ の場合

$D(44,2)=\{3,15,1893,9,45,5679,136251,5,2105,8705,465,6315,9465,\cdots\}$
$D(44,3)=\{3\}$
$D(44,k)=\phi \; (k \ge 4)$

$r=45$ の場合

$D(45,2)=\{23,1081,10603,635881,749087,\cdots\}$
$D(45,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=46$ の場合

$D(46,2)=\{47,\cdots\}$
$D(46,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=47$ の場合

$D(47,2)=\{3,21,309,2163,74109,123501,\cdots\}$
$D(47,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=48$ の場合

$D(48,2)=\{7,49,\cdots\}$
$D(48,3)=\{7\}$
$D(48,k)=\phi \; (k \ge 4)$

$r=49$ の場合

$D(49,2)=\{15,1405,20105,25,2525,7025,100525,325025,632525,\cdots\}$
$D(49,3)=\{5\}$
$D(49,k)=\phi \; (k \ge 4)$

$r=50$ の場合

$D(50,2)=\{3,51,57,129,17\}$
$D(50,k)=\phi \; (k \ge 3)$

$r=80$ の場合

$D(80,2)=\{3,21,129,147,609,903,2667,100569,387,1161,\cdots\}$
$D(80,3)=\{3,63,129,9,387,\cdots \}$
$D(80,4)=\{3\}$
$D(80,5)=\{3\}$
$D(80,k)=\phi \; (k \ge 6)$