【極限!?】2次方程式の解の公式と１次方程式の解

今日もどこかで『にーえーぶんの……』

今日も誰かがどこかで、

『にーえーぶんのまいなすびー、ぷらすまいなするーとびーじじょうまいなすよんえーしー』

と呪文のように口ずさむ。聞き覚えのある数学フレーズ、そんな２次方程式の解の公式にまつわる話を今回はしてみよう。

何はともあれ、２次方程式は、
$ax^2+bx+c=0$
という方程式のことで、 $a \ne 0$ の場合のものを指す。
この $a \ne 0$ というのがさり気ない条件に聞こえるが、とっても大切だ。

冒頭で唱えた解の公式
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
も、うっかり $a=0$ としてみると、『 $0$ で割る』というタブーを冒してしまう。
ここで、1つの疑問が浮かんだ人もいるだろう。そう、

『 $a \rightarrow 0$ の極限をとったとき、解の公式はどうなる？』

という疑問だ。

ヤフー知恵袋にて

この「解の公式の極限問題」は、やはりというかネットで質問している人がいた。
それが、ヤフー知恵袋における次の質問だ。

detail.chiebukuro.yahoo.co.jp

問題こそ解決ずみになっているが、そのベストアンサーが、私にはなんともスッキリしないものに感じられた。そこで、今回の記事では、この疑問に真正面から立ち向かう。
といっても、ちょっとした計算をするだけれど……

１次方程式へ向かって

$a \rightarrow 0$ の極限をとると、もともとの2次方程式は、
$ax^2+bx+c \rightarrow bx+c=0$
となる。ここで、 $b \ne 0$ 場合を考えることにすると、これは1次方程式になる。
もちろんその解は、
$x=- \frac{c}{b}$
だ。したがって、2次方程式の解の公式
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
で $a \rightarrow 0$ の極限をとると、その内１つは $-c/b$ になると期待できる。
ここで、本当に答えるべき質問は、

①２次方程式の解の公式の極限をどうやってとるか？
②２つあった解の内、もう１つはどうなるか？

の２つだろう。しかし、極限をとるにしても、解の公式の分母に $a$ が残ったままではやりづらそうだ。そこで、ちょっと意外なテクニックが使えることに気づいたので紹介したいと思う。それは、いわば、

『分子の有理化』

とでも言えるテクニックである。

「分子の有理化」と「解の公式の極限」

普通学校では、「分母を有理化せよ」と問題に出される。今回は、あえてその逆である「分子」を有理化していく。何が起こるかは、下の計算を少し追ってみてほしい。(以下、複号同順。)一行ずつ丁寧にやっていく。
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
　 $=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\frac{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}$
　 $=\frac{b^2 - (b^2-4ac)}{2a(-b \mp \sqrt{b^2-4ac})}$
　 $=\frac{4ac}{2a(-b \mp \sqrt{b^2-4ac})}$
ここで、なんと、分母と分子の両方 $a$ が表れているので「約分」できてしまうのだ。「約分」すると、
$x=\frac{2c}{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}$
となる。「分母にルートタイプ」の解の公式である。覚えるには、

『にーしーわる、まいなすびー、まいなすぷらするーとびーじじょうよんえーしー』

と唱えればいい。
とにかく、こうなってしまえば、後は $a \rightarrow 0$ の極限をとるだけだ。
$x \rightarrow \frac{2c}{(-b \mp \sqrt{b^2})}$
　 $= \frac{2c}{-b \mp |b|}$
$|b|$ の絶対値を外すと、 $+b$ か $-b$ のいずれかなので、結局、解の公式に現れる2つの解の極限は、
$x \rightarrow \frac{2c}{-b \pm b}$
つまり、
$x \rightarrow -\frac{c}{b},\infty$
となる。*1
以上のようにして、２次方程式の「解の公式の極限問題」は、「分子の有理化」というちょっと予想外のテクニックによって解決したのであった。