流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

【数学との関わり】臨界現象研究の今後について思うこと【臨界指数至上主義について】

オリジナル 数論 物理 臨界現象

臨界現象とは

臨界現象については、以下の文献で簡潔にまとめられている。

dl.ndl.go.jp

特に、臨界現象とは、

①「物質が相転移を起こす際に様々な熱力学関数が特異性を示す」

②「異なった系での臨界現象が共通の臨界指数を持つという普遍性」

という2点が面白いと言及されている。

 

くりこみ群と臨界指数

モデル計算と組み合わせにより、数値計算で臨界指数を見積もることが可能である。特に、アンダーソン転移では臨界指数が有効数字3~4桁程度まで求められている*1。

ここで使われるテクニックは、物理量を有限系で計算して、有限サイズスケーリングと呼ばれるくりこみ群の手法を用いて、臨界指数を見積もることである。

そこで、行われていることは、本質的には、

①臨界点の発見

②物理量の計算

③スケーリング関数(くりこみ群の理論から得られる)へのフィッティング

である。特に、③はフィッティングパラメータに臨界指数を含むので、臨界指数が見積もられるという仕組みである。

 

共形場理論について

僕は共形場理論についてほとんどしらないが、3次元系の場合に臨界現象を対称性で分類して、ハミルトニアンを用いずに(従って、普遍性の説明が可能となる)臨界指数を見積もるテクニックという程度の認識である。実際の、共形場理論が僕が知る以上に豊なものであるのなら、それを知っている人は僕に教えてほしい。

 

臨界現象研究のこれからについて思うこと

①「物質が相転移を起こす際に様々な熱力学関数が特異性を示す」

②「異なった系での臨界現象が共通の臨界指数を持つという普遍性」

が臨界現象の研究における基本的な問題意識として長年この２つの事象を説明することに労力が割かれてきた。

 

ところがおちついて考えてみてほしい。臨界指数とは所詮数のペア(仮に、\mu,\nuと呼ぼう)にすぎない。

数のペア、しかも実数値の組に対して、何か意味があるか考えられるだろうか？

おそらくまず最初に返ってくるのは、臨界指数は臨界現象としてのハミルトニアンの分類を行うための、特徴量の代表系をなしているという返答だろう。

では、ハミルトニアンの分類ができたとしよう。ここで僕は新たに問いたい。

 

なぜ、そのような分類が可能になったのか？

なぜその実数でなければならなかったのか？

普遍的構造の物理現象は臨界指数だけなのか？

 

僕は、これらの質問に立ち向かうことこそが、これからの臨界現象の研究にとって本質的に重要になってくると考えている。

なぜなら、系の対称性ごとに臨界指数を求めるという目的はおおよそ(ゆるく考えれば)達成されたといってもよく、問題は臨界指数の見積もりの精度を上げることではないからである。実際、アンダーソン転移では実数次元*2での臨界現象を考えることができ、臨界指数は連続的に変化する量と言える。

このような状況であるからこそ、臨界指数をある一つの次元で見るのではなく、次元に依存した関数とみなすことが重要だと言える。

そのような状況では、次元をパラメータにもったなんらかの数学的対象物が臨界現象の研究に必要なのは明らかである。

続けよう。

臨界現象の研究と数学

これまで臨界現象の研究は、物理学者主体で行われてきた。ところが、普遍性すなわち「異なるものを同じものとみなす技術」は本来数学が得意とする分野のはずである。

そのため、臨界現象のトポロジー論的な理解が可能なのではないかと想像できる。

他には、臨界指数とζ関数が関係を持つことは、例えば氷上忍先生の研究で明らかになっている。(Localization, Nonlinear σ Model and String Theory | Progress of Theoretical Physics Supplements | Oxford Academic)

そのため、数論と臨界現象の相互理解が可能ではないかと予想される。

どちらも、まだおそらく手つかずの領域ではあるが、本来臨界現象を理解しようとするならば、このような方向性で行くのが正しいように思える。

 

僕の研究について

僕はStatistical Random Walk Summation(SRWS) theory*3 というものをアンダーソン転移(Orthogonalクラス)の場合に構成した。

 

vixra.org

それにいくらかの近似を施すと、局在長の臨界指数\nuが、第一近似で

\nu(d)=\frac{1}{2}+\frac{\zeta(d/2)\zeta(d/2+2)-\zeta(d/2+1)^2}{\zeta(d/2+1)\zeta(d/2+2)}

と表されることを示した。

この式からわかることは、下部臨界次元d=2で臨界指数が発散するのはζ関数が発散するため、すなわち素数が無限に存在することに由来すると説明できる。

逆に、臨界指数からζ関数を理解できる可能性もわずかに見えてくる。物理学と数論の交流というわけだ。

特に、局在長\xiがあたかもヘルムホルツ自由エネルギーのように見なせて、

\xi\simeq \frac{1}{distance}\ln \Phi(a,d/2,|x-y|+1)

と表せることである。ここで、\Phiはζ関数の一般化であるレルヒ超越関数でありdは次元である。この超越関数が統計力学で最も重要な分配関数のアナロジー部分に現れることは驚きである。

このように、ζ関数のある種の一般化が分配関数に対応し、臨界現象を引き起こしていると考えると数学・物理学双方にメリットのあるものの見方であると考えられる。

 

まとめ

従来、臨界現象の研究は

①臨界点での物理量の特異性

②臨界指数の普遍性

の2点に注目が集まり過ぎていた*4。

ところが、これからの臨界現象の研究は次のように変わるべきである。

①臨界現象の研究は、臨界指数の(実数)次元依存性に基づいて行われるべきである。

②臨界現象の普遍性に対する数学側からの説明が可能なのではないか？(トポロジーなど)と問うべきだ。

③臨界現象は数論と根本的な部分でつながっているのではないか？と問うべきだ。

これら３つの点をあげてこの記事を終わりにしたい。

*1:3次元Orthogonal クラスの場合

*2:スペクトル次元

*3:

A Method for Studying the Anderson Transition in the Orthogonal Symmetry Class Employing a Random Walk Expansion, the Statistics of Asymptotic Walks and Summation Method, viXra.org e-Print archive, viXra:2205.0136

*4:特に、2次元と3次元の研究ばかりがめだっていた

【viXra one掲載済み】アンダーソン転移の新理論を発表しました【JPSJへの不満など】

オリジナル 物理 数論 研究

JPSJに投稿した論文が以下の理由でrejectされました

掲載拒否理由は、今回ちゃんと説明してくれたので、（ひどく誤解されてはいるが）まだ前回よりはマシかなというお気持ち。
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Manuscript Number: 70573
Section: Full Papers
Title: A method for studying the Anderson transition in the orthogonal symmetry class employing a random walk expansion, the statistics of asymptotic walks and summation method
Authors: Yoshiki Ueoka
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Editor's comments:

本論文はアンダーソン転移の臨界指数を求める新たな方法として、グリーン関数を経路展開して、それれを適当な近似のもとで数値的に評価し、その振る舞いから局在長および臨界指数を評価したと主張している。ただ、数値結果で、臨界点を与えるWの値が負になっていたり、誤差も大きかったりしている。現在は、臨界指数は高精度で求められており、本論文の精度では、新しい知見が見えてこない。
　また。アンダーソン転移のこれまでの研究を踏まえての本研究の位置付け、適切な論文の引用、次々と導入される近似の正当性、得られた数値計算結果の妥当性に関する考察、式変形や論理の流れのわかりやすさ、といったものが欠如している。
　以上、形式的な面、解析の丁寧さの両方に問題があり、JPSJの掲載にふさわしくない。
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Manuscript Number: 17894
Section: Letters
Title: zeta-Pad'e SRWS theory with high dimensional approximation
Authors: Yoshiki Ueoka
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Editor's comments:

本投稿論文は、アンダーソン転移の臨界指数に関する理論的な論文である。グリーン関数の経路展開のうちで、主要と思われる項の形を仮定し、その漸近系から局在長を求め、d次元のアンダーソン転移における局在長の臨界指数に対する解析的な表式を得たと主張している。得られた表式自体は無限次元で0.5になり、2 ~6次元で現在知られている臨界指数とそう遠くない値を示しているが、それに至る近似の正当性に関しては、ほとんど触れられていない。数値計算とのずれもそれなりにあり、パデ近似をしており、「この結果が単なる偶然で、アンダーソン転移とは関係ないのではないか」という懸念を排除する議論が不可欠である。

また、アンダーソン局在のこれまでの研究における本研究の位置付け、記号の定義や物理的意味、適切な文献の引用、所属の書き方、論理の流れを明確にする説明といったものが明らかに不足している。

full paperで投稿された論文（こちらは展開を数値的に活用して臨界指数をもとめている）と、基本的な思想は共通しており、まとめることも考えられるが
いずれにしても、導入された近似の正当性を示すことが不可欠である。
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1つ目の論文で伝えたかったことと不満

まず、僕の新理論による臨界指数の精度問題であるが、これは全く持って見当違いのいちゃもんである。以下の文である。

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ただ、数値結果で、臨界点を与えるWの値が負になっていたり、誤差も大きかったりしている。現在は、臨界指数は高精度で求められており、本論文の精度では、新しい知見が見えてこない。

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なぜなら、僕は新理論のたたき台を出すことを目的としており、臨界現象の本質的な理解の進展を目的としているからだ。つまり、臨界指数を求めることは目的ではなく、手段にすぎない。そのため、臨界指数は結論ではなく、理論の正当性を評価するためのものさしに(いったん)なりさがっているのだ。

 

次の指摘について、

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　また。アンダーソン転移のこれまでの研究を踏まえての本研究の位置付け、適切な論文の引用、次々と導入される近似の正当性、得られた数値計算結果の妥当性に関する考察、式変形や論理の流れのわかりやすさ、といったものが欠如している。
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位置づけや論文の引用は、独立研究者であるため、過去に引用した文献の内、内容を覚えているものしか引用できなかったのだ。これは金銭的な問題である。また、近似の正当性や計算結果の妥当性については、上に書いた通り、臨界指数が先行研究とほぼコンシステントになっていることで説明がついているというスタンスなので、議論が逆なのである。

 

2つ目の論文で伝えたかったことと不満

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得られた表式自体は無限次元で0.5になり、2 ~6次元で現在知られている臨界指数とそう遠くない値を示しているが、それに至る近似の正当性に関しては、ほとんど触れられていない。

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何度も言うが臨界指数の高精度計算の時代は一度終わりにして、次のステップに進むべきである。そのため、臨界指数の値は、おおよそあっていれば問題ないのである。

 

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数値計算とのずれもそれなりにあり、パデ近似をしており、「この結果が単なる偶然で、アンダーソン転移とは関係ないのではないか」という懸念を排除する議論が不可欠である。

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パデ近似をすることで、臨界指数の評価に不安が残るなら、なぜボレル・パデ解析を用いた僕の以前の論文を掲載許可したのかと問いただしたい。


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また、アンダーソン局在のこれまでの研究における本研究の位置付け、記号の定義や物理的意味、適切な文献の引用、所属の書き方、論理の流れを明確にする説明といったものが明らかに不足している。

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お金の問題により、避けがたいことをいわれても……

所属の書き方なんてのは特にひどい。僕は独立研究者なので、independent以外書きようがないではないか。一体どう直せと？

 

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いずれにしても、導入された近似の正当性を示すことが不可欠である。

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臨界指数の先行研究との比較で正当性は既に示している。これは、従来型の研究では認められないことだ。しかし、臨界現象の新しい知見を得るにあたっては、ここの論理は逆に用いてもよいということに気付いてほしい。

 

viXraにあげた論文

うつ病で集中力の続かない中、苦労してなんとか論文の形にもっていったもの二本である。ここにリンクを貼っておく。

vixra.org

vixra.org

 

最後にいいたいこと

臨界現象の研究が臨界指数を求めて終わりなら、そんなにつまらないことはない。その値にどのような数学的物理学的意味付けができるかは最低限必要である。

また、臨界指数の高精度計算の時代はもう終わりにしていいと思う。アンダーソン転移では、有効数字4桁程度までの精度で数値計算されており、これ以上は無用の長物である。

これからの臨界現象の研究に必要なことは、臨界指数のその先にあるものを見出すことである。

 

この点においては、僕の研究では臨界指数とリーマンのζ関数を関連付けることで、数論的意味を見出すことに成功している。また、統計力学の分配関数のアナロジーとしても、アンダーソン転移(Orthogonalクラス)ではレルヒ超越関数が対応するという綺麗な結果を得ている。

 

これが、ただ臨界指数の数値を精度よく求めるだけの研究より一歩先に踏み出しているのは明らかである。

一本目の論文は、理論構築のたたき台兼先行研究との比較による正当性の確認。

二本目の論文は、新理論がもたらす新しい知見と今後の方向性を説明している。

 

これが理解されないようでは、臨界現象の研究も所詮臨界指数止まりである。後は歴史が解決してくれるか本当に物事の本質を見極める力のある人が現れるのを願うばかりである。

【考察・解釈】水野あつさんの「たいたいな」【私的数学が捗る曲】

音楽 数学 雑感

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数学が捗りそうな僕の推し曲

僕の好きな「水野あつ」さんの曲で数学が捗りそうな曲を紹介したい。「たいたいな」だ。

www.youtube.com

数学が捗る曲チョイスで大切なのは、音楽のリズムとテンポ、そしてよく音楽と調和のとれた歌声だ。歌詞は自分が共感できるフレーズがはいっていると聴いてて落ち着くのでいい。

他にもおすすめ曲はたくさんある。例えば、「ろん」さんの歌ってる「40mP」さんの「トリノコシティ」などだ。

www.youtube.com

「たいたいな」の個人的な考察・解釈

たいたいなの曲の考察・解釈が調べてもすぐに出てこなかったので、この曲が好きなので考察・解釈してみようと思う。

以下、歌詞引用と数式番号の代わりの歌詞番号

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【歌詞】

 

最低な僕だな、君に会いたいんだ

夜中独り未来(あす)を考えてるんだ

最低な僕だな、君を守れないね

苦しいんだ……①

 

最低な僕がさ、考えているのは

どうして僕は無価値なの……②

 

そんな事ばかりで……③

 

単純な自分に嫌気が刺している

悲しいね……④

 

そしてだんだんだんだん嫌いになってく

僕も君もいつかは老いぼれて死ぬんだろ

だんだんだんだん嫌いになってく

僕は君とたいたいたいな……⑤

 

最低な僕だな、君に会いたいんだ

夜中独り未来(あす)を考えてるんだ

最低な僕だな、君を守れないね

苦しいんだ……①'

 

最低な僕がさ、考えているのは

どうしてヒトは生きてるの……②'

 

そんな事ばかりで……③'

 

単純な自分に嫌気が刺している

悲しいね……④'

 

そしてだんだんだんだん嫌いになってく

僕も君もいつかは老いぼれて死ぬんだろ

だんだんだんだん嫌いになってく

僕は君とたいたいたいな……⑤'

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この曲の歌詞の1番(①～⑤)と2番(①'～⑤')は、基本的にほとんど歌詞は同じで、違いは②と②'の部分

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最低な僕がさ、考えているのは

どうして僕は無価値なの……②

 

最低な僕がさ、考えているのは

どうしてヒトは生きてるの……②'

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だけだ。この違いは、曲が進むにつれて「僕」の考えが歌詞にある通りだんだん深まっていっていることを意味していると考えられる。

 

それでは、①から順に考察していこう。

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最低な僕だな、君に会いたいんだ

夜中独り未来(あす)を考えてるんだ

最低な僕だな、君を守れないね

苦しいんだ……①

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まず「僕」は自分自身を最低だと評価している、時間帯は夜で独りぼっちで自分自身について考え耽っていることがわかる。未来と書いて「あす」と歌っていることから、この僕にとって遠い未来を思い描くことすら困難で、明日を生きるので精いっぱいだと思われる。

そして、君を守ることができない、そんな自分自身が最低だと考えている。このことから「君も」苦しんでいることがわかる、それが精神的なものか物質的なものかは推し量れないが、後の歌詞からおそらく精神的なものだと思われる。

この悩みで、「僕」は苦しんでいるし、おそらく「君」も苦しんでいる。だから、守れないという言葉が出てくる。「僕」にとって、君は守り「たい」存在だと主張している。

 

次に②に移ろう。

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最低な僕がさ、考えているのは

どうして僕は無価値なの……②

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ここで、考え悩んでいる内容が具体的に示される。どうして僕は無価値なのか。疑問符がついていないことから、すでに自分自身が無価値であると考えていて、その状況を嘆いている。①から、わかるように、「君」も苦しんでいることから、この悩みは「君」からもたらされたものだと考えられる。「君」から無価値だと直接または間接的に言われた

かそう考えざるを得ない状況に追い込まれたと予想される。この時点では、まだ「君」を守れないという現状を変えられない自分自身に価値がないと自分個人のことを考えているのだ。

 

次に、③～⑤

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そんな事ばかりで……③

 

単純な自分に嫌気が刺している

悲しいね……④

 

そしてだんだんだんだん嫌いになってく

僕も君もいつかは老いぼれて死ぬんだろ

だんだんだんだん嫌いになってく

僕は君とたいたいたいな……⑤

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③は考えが同じところを堂々巡りして、一向に前に進まないこと。

④に単純な自分と出てくるが、これは「君」を苦しみから守れない方法「さえ」見つけられれないことを意味している。ここで、「僕」にとって、「君」が大切な存在であることが改めて強調されている。「君」が誰よりも大切に思っていることは間違いないと確信しているからこそ、守る方法が見つけられないことに矛盾を感じて、自分が「単純」な存在に過ぎないからだ。単純がゆえに、無価値だと考えている。

⑤でだんだん嫌いになっていくのは、ここまでの歌詞からわかるように、「僕」自身だ。ここで、明日のことしか考えられなかった「僕」が「僕も君もいつかは老いぼれて死ぬんだろ」と遠い未来のことを言いだすのは、一見矛盾している。つまり、この言葉は、おそらく「僕」からでた言葉ではなく、表現の形は変わるかもしれないが「君」または「君の状況」から考えることとなった言葉だと思われる。つまり、「君」はなんらかの事情で「死」を意識して生きている。そして、おそらく「僕」に「いつかは死ぬんだよ」と言ったと思われる。つまり、自分自身が無価値だと考え始めたのは、「僕」ではなくて、「君」だと予想される。「ヒトはいつか死ぬから人生に意味はない」と「君」は考えている。「君」がこんなことを考えだしたのは、何かきっかけがあったのだろう。おそらく「君」にとって、身近な誰かの「死」などの不幸なことかかなり辛いことがあり、精神的に追い込まれた結果でた言葉だと思われる。

そして、そんな「君」を守れないから「僕」は自分自身をだんだん嫌いになっていくが、それでもまだ「君」の存在は「僕」にとって、大切で、「君と僕」で一緒に「～したい、～したい」といろいろなしたいことがたくさんあるんだと言っている。しかし、この～したいという言葉でも君を守れないということは、「僕」の「～したいという気持ち」を「君」が受け入れてくれない心情でいるからだということになる。つまり、いつか死ぬその日までしたいことはたくさんあると伝えているのに、それを「君」は否定している。つまり、「君」は生き続けることを表面上は否定する言葉を「僕」に投げかけていたと思われる。すなわち、「君」は生きる意味を見失ってしまったのだろう。夢か大切な人か何を失ったかはわからないが、「僕」にはそれをどうにかできるだけの答えがないのだ。

 

そして、２番へ続く。①'は１番と同じで、「僕」が考え悩んでいる。しかし、一番と決定的に違うのは続く②’での問いが「どうしてヒトは生きているの」とより一般的なものになっている点だ。

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最低な僕がさ、考えているのは

どうしてヒトは生きてるの……②'

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これは、「君」の悩みに真剣に向き合い続けた結果、「僕」も同じ悩み・苦しみを抱えるようになって、前よりずっと「君」によりそって悩んでいることを表している。

③④は１番と同じ解釈で、⑤は「君」の悩み・苦しみがついには「僕」自身の悩みとなっても、まだ一緒に生きてしたいことがたくさんあるという気持ちが消えいていないということを歌っている。そして、その気持ちを伝えきれないことで、「君」を救えないことで、だんだん自己嫌悪に陥っていく。頭(理屈)では「生きていく理由」を説明できないけど、「君」と一緒に生きたいと考えいている。頭では生きる理由を否定して矛盾しているとわかっていても、「生きて」したいことがたくさんあるという気持ちだけは確かにあるんだと変わらない気持ちを伝えて終わる。「君」を生きる苦しみから守るだけの言葉を紡げないけど、「僕」と「君」で一緒に生きていろんなことをしたいという純粋で単純な気持ちだけは確かにそこにあるのだ。

 

 

【Python】5000×5000直交行列の対角化【線形代数】

Python プチ研究 数学 線形代数

巨大なランダム直交行列

各成分が[-1/2,1/2]の一様乱数で決定される5000×5000行列を近似的に対角化してみた。

手法

規格化したベクトルを用意し、各成分がe^{i\theta}という位相だけを持つとして、\thetaをモンテカルロ法により最適化し、対角化を行った。

プログラム

github.com

gistc1a016e8bd86d10e898655f2ac6a979f

結果

行列が大きくなると、適当に作った固有ベクトルでも、偶然固有ベクトルに一致する個数の期待値が上がる。そのため、今回のようなかなり雑な近似でも良い結果が得られる。

固有ベクトルの誤差の期待値は、\frac{|Av/||Av||-v|}{5000}\approx 0.0181で、平均の直交すべきベクトルの内積の値は、5.0967\times10^{-6}であった。肝心の計算時間は、対角化自体は12秒。誤差のチェックに1分40秒、直交性のチェックに5分25秒で、残りの下準備の計算時間も合わせて、合計7分48秒となった。

 

【Python】確率的素数生成プログラム【改良版】

Python オリジナル 数学 数論 素数 プチ研究

バグがありました

sky-time-math.hatenablog.jp

素数が見つからないときは、取り合えず２を足す作戦に変更

ついでに、sympy.isprime()で素数判定する作戦に変更。プログラムは以下においてあります。

github.com

進捗バー表示は以下のサイトを参考にした。

qiita.com

素数2,3,5だけから始めて、200個の素数を生成するテスト。prodの積の最大値は５、その各場合につき、乱数は1つの素数につき、100パターン取っている。

gist02db7518e164c1786a5adcb24fbc4f05

ある素数の次の素数を見つける確率99.01%。素数を見つける確率99.51%。

素数2,3,5だけから始めて、1万個の素数を生成するテスト。prodの積の最大値は10、その各場合につき、乱数は1つの素数につき、100パターン取っている。

gist6a1bd58014cb3df8b65e40ad4578de35

ある素数の次の素数を見つける確率99.02%。素数を見つける確率99.99%。しかし、28分もかかってしまった。

次にすべきこと

上記のプログラムでは素数生成時に、それまでに生成した素数全てを用いている。それを減らして、例えば100個の素数から生成し直した場合どうなるかなど調べた。1万個の素数を生成するテスト。prodの積の最大値は10、その各場合につき、乱数は1つの素数につき、100パターン取っている。この計算には、1分50秒で済んだ。

gist40988ad27e18a3c3148b3d71601ab7f0

ある素数の次の素数を見つける確率98.97%。素数を見つける確率99.99%とかなりの好成績を収めてくれた。

まとめ

確率的素数生成プログラムとしては、ある程度の水準のものができたように思う。これ以上改良するには、最初に用意する素数を増やすなどの手を打つ必要があるだろう。どれくらいの大きさの素数に対して、いくつ素数を事前に用意すればよいか、素数を選ぶ重みづけなど、いくつか課題は残っている。

 

 

 

 

 

 

【Python】二重ループが一部同期するバグ【バグ】

Python

n×n行列の配列を

A=[[0]*n]*n

で初期化した後、

for i in range(n):

    for j in range(n):

          A[i][j]=(i,j)

等で、値を代入すると、A=[[(n,0),(n,1),…],[(n,0),(n,1),…],…]となるバグが発生した。

解決策は、

import numpy as np

A=np.zeros((n,n))

とした後、同じようにループを作ればいい。内包表記が複雑になり過ぎる場合、for文を使わざるをえないので、このようなバグには注意しましょう。

【素数】確率的素数生成【Python】

Python 人工知能 数学 数論 素数 オリジナル プチ研究

n番目の素数p_nが与えられた時、n+1番目の素数p_{n+1}を予測する。

アルゴリズムのアイデアは前回の記事と同様なので、それを貼り付けておく。

 

sky-time-math.hatenablog.jp

コード

パラメータの調整でどこまで成功確率が上がるかわからないが、ひとまず素数2,3,5を出発点として、確率的に100個素数を生成して、どれくらい正しい素数が含まれていて、次の素数を正しく計算できる確率を算出してみた。

確率的アルゴリズムのため、比較的うまくいった結果をとりあえず載せてみる。

github.com

gist6e61390f695c422cab264792f36581d4

このように約41％の確率で素数判定に成功しを、素数から次の素数を見つける確率は約40％である。最高で、49％付近までいったこともあるが、うまくいかないときは、35%程度である。

素数2~29を出発点として、確率的に素数を生成した場合の結果は次のように、いい時で50％付近まで改善された。元になる素数の情報が多いので当然の結果である。

gist5c4b2d564f917487dbb11a65163ed002