2021-09-06

【7×7=61】8進数と16進数の九九【f×f=e1】

数学数論

8進数の足し算とかけ算の表

f:id:FoxQ:20210906162127p:plain — 8進数の足し算表

f:id:FoxQ:20210906162206p:plain — 8進数のかけ算表

16進数の足し算とかけ算の表

f:id:FoxQ:20210906162240p:plain — 16進数の足し算表

f:id:FoxQ:20210906163532p:plain — 16進数のかけ算表

倍数判定法

表を作っただけでは物足りないので、倍数判定法も。証明は10進数の時と同じです。

8進数で7の倍数か判定する方法

＝各位を足した数が７で割り切れたら7の倍数

16進数で、3,5,fの倍数か判定する方法

=各位を足した数が3,5,fで割り切れたら3,5,fの倍数

8進数で2の倍数

=１の位が0,2,4,6

16進数で2の倍数

=1の位が0,2,4,6,8,a,c,e

8進数で4の倍数

=１の位が0か4

16進数で4の倍数

=1の位が0,4,8,c

16進数で8の倍数

=１の位が0か8

2021-09-06

【確率】僕と同じ種類の人間はいるのか？【ドッペルゲンガー、そっくりさん】

オリジナル数学雑感

仮定

各事象は計算の簡便のため独立とします。

確率

twitterが実名(30代) $p_1=\frac{1}{3}\sim 3.33\times10^{-1}$ *1

博士号取得 $p_2=\frac{118}{1000000}\sim 1.18\times 10^{-4}$ *2

体が男のXジェンダー $p_3=1.7\times 10^{-2}$ *3

うつ病 $p_4=5.7\times10^{-2}$ *4

彼女がいる(18~39歳) $p_5\sim 0.5$ *5

兼業研究者 $p_6=\frac{33200}{662000} \sim0.05$ *6

自営業 $p_7\sim 0.138$ *7

作家を志す $p_8\sim \frac{1}{24}$ *8

数学者(プロ・アマ合算) $p_9 \sim 2.4 \times 10^{-5}$

物理学者(概算) $p_{10} \sim \frac{6844}{126220000}\sim 5.4 \times 10^{-5}$

*10

障害年金受給者 $p_{11}=\frac{2400000}{126220000}\sim0.02$

*11

男性イラストレーター(30~34歳) $p_{12}\sim0.037$ *12

プログラマー $p_{13}\sim \frac{6000000}{1260000000}\sim \frac{1}{21}$ *13

デュエリスト $p_{14}\sim {1}/{79}$ *14

ゲーマー $p_{15} \sim 0.44$ *15

マンガを読む $p_{16}\sim 0.73$ *16

ボカロ曲を歌う $p_{17}\sim 0.235$ *17

旧帝卒 $p_{18}\sim 0.04$ *18

IQ145以上 $p_{19}\sim 0.001$ *19

vtuber $p_{20}\sim \frac{13000}{1260000000}\sim 10^{-4}$

漢字検定準一級 $p_{21}\sim 3 \times 0.1 =0.3$ *20

数学検定2級 $p_{22}\sim 6.1\times 10^{-3}$ *21

高校生のときに英検2級 $p_{23}\sim 0.047$ *22

僕が存在する確率

$\prod_{j=1}^{23}p_j=2.87\times10^{-39}$

なんとプランク定数 $10^{-34}$ の $10^{-5}$ 倍だ。

人類は700万年前に誕生したので、単純計算67億人をかけると、上から、 $4.69\times10^{16}$ となる。

つまり、歴史上僕と同じ人はいなかっただろうことになる。それどころか後、 $10^{29}$ 年は同じ人は現れない計算になる。これは、地球の寿命*23の $10^{19}$ 倍の時間である。

宇宙の寿命*24の $10^17$ 倍の時間である。つまり、宇宙開闢が $10^17$ 回程繰り返さないと僕みたいな人間は現れない。もうすでに唯一の存在になってしまったようだ。実は、正法眼蔵 *25をそれなりに読んだなどもいれると、もっと確率は下がるが、さすがにマニアックなので省いた。

僕が存在する確率(高めの見積もり)

念のため、一般的な資格や趣味を取り除いて計算し直してみよう。以下の確率の積となる。

博士号取得 $p_1=\frac{118}{1000000}\sim 1.18\times 10^{-4}$

体が男のXジェンダー $p_2=1.7\times 10^{-2}$

うつ病 $p_3=5.7\times10^{-2}$

彼女がいる(18~39歳) $p_4\sim 0.5$

兼業研究者 $p_5=\frac{33200}{662000} \sim0.05$

物理学者(概算) $p_6 \sim \frac{6844}{126220000}\sim 5.4 \times 10^{-5}$

自営業 $p_7\sim 0.138$

作家を志す $p_8\sim \frac{1}{24}$

男性イラストレーター(30~34歳) $p_{9}\sim0.037$

プログラマー $p_{10}\sim \frac{6000000}{1260000000}\sim \frac{1}{21}$

IQ145以上 $p_{11}\sim 0.001$

vtuber $p_{12}\sim \frac{13000}{1260000000}\sim 10^{-4}$

合計は、 $P=1.56\times10^{-25}$

ボーア磁子*26の $1/10$ 程度となる。

人類は700万年前に誕生したので、単純計算67億人をかけると、上から、 $4.69\times10^{16}$ となる。

つまり、歴史上僕と同じ人はいなかっただろうことになる。それどころか後、 $10^9$ 年は同じ人は現れない計算になる。これは、地球の寿命*27から計算すると、僕と同じような人は、5人現れる可能性がまだある。ひょっとすると、輪廻転生があると仮定するなら、後僕が、4回ほど生まれ変わって、再び僕のような存在になるという意味かもしれない。だとしたら、僕が僕らしく生きられる可能性は、輪廻転生を仮定しても、もうあまり残されていない。

世界には、ドッペルゲンガーは3人いるといわれていて*28、また単純にそっくりさんもだいたい平均して3人いるらしい*29。しかしながら、上の確率から計算すると、僕が生きている間に、そっくりさんに出会う確率は、寿命を100歳としても、 $P=1.56\times10^{-22}$ となる。つまり、僕に関しては、同年代に生きるドッペルゲンガーやそっくりさん存在仮説はほぼ否定されたことになる。

また、コンタクト可能な知的生命体レベルの文明の数は10個*30といわているので、僕が、僕と同じような生命体とコンタクトする確率は、寿命を100歳として、 $P=2.1\times10^{-14}$ となる。

結局、僕が生きている間には、僕と同じような存在に出会うことは宇宙を探してもいなさそうだということになる。

今後も独創的な活動を続けていき、ますます宇宙一唯一無二の存在を目指していきたい。

おまけ：同じ悩みを抱える人はどれくらいいるか？

LGBTQ $p_1=0.077$ *31

精神疾患 $p_2=0.033$ *32

自営業 $p_3\sim 0.138$

IQ145以上 $p_{4}\sim 0.001$

理系(なので話が合わない) $p_5 \sim 0.3$

確率の積は、 $P=2.4\times 10^{-7}$ 。

日本の人口をかけると、約31人となる。つまり、同じような境遇で苦しんでる人は、日本に31人くらいいるのでなんとかして出会いたい。

また、自営業と精神疾患を除くと、確率の積は、 $P=5.3\times 10^{-5}$ 。

日本の人口をかけると、約6651人となる。つまり、同じような境遇の人でか関わってみたいは、日本に6651人くらいいるのでまだ希望が持てる。twitter経由で出会える可能性のある人数は*33、約1660人となる。僕の現在のフォロワーさんが4300人程度なので、ゆるく見て同じ境遇の人がフォロワーにいる確率は、約22％となる。だが、実際のところは、フォロワーに偏りがあり、ここまで確率は高くないだろう。

　LGBTQさんでIQ145以上の人口の割合ならば、確率の積は $P=7.7\times10^{-5}$ 。

twitterをアクティブにやっている人は、この内、おおざっぱに見積もって、2426人となる。

　LGBTQさん限定でフォロワーさんを探すとなると、この内理系またはIQ145以上の人がいる確率は、３０％となる。LBGTQさんを探していけば、目的の人といつかは関われそうだ。

*1:

総務省｜平成27年版情報通信白書｜SNSの利用率

*2:

主要国で日本のみ減少博士・修士号の取得者 | 教育新聞

*3:

https://www.pref.nagasaki.jp/shared/uploads/2020/02/1582270588.pdf

*4:

うつ病の患者数 | うつ病の情報・サポートサイトこころの陽だまり

*5:

「恋人いない30代」20年前の2倍に...東大の調査で分かった日本男女の“交際事情”[東京カレンダー]

*6:

統計局ホームページ/統計Today No.119

*7:

日本における経営者・自営業者の割合とは？ – 中小企業のデータ分析・活用支援ならKUROCO

*8:

小説家のデビュー確率と生存率は？豊富なデータから詳しく検証

*9:

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1317-22.pdf

*10:

理学 / 物理学統計データ | 日本の研究.com

*11:

https://www.mhlw.go.jp/topics/bukyoku/nenkin/nenkin/toukei/nenpou/2008/dl/gaiyou_h29.pdf

*12:

https://mugenup.com/wp-content/uploads/2020/01/8cd93b9c8dd7c2d5d7401440b7568642.pdf

*13:

日本人はプログラマ何人に1人くらい？ - プログラマーなら60... - Yahoo!知恵袋

*14:

KONAMI、『遊戯王デュエルリンクス』が全世界1億DL突破！高橋和希先生描き下ろしの貴重なアクセサリーなど豪華プレゼントを予定 | gamebiz

*15:

全世界のゲーム人口が30億人を突破――新たな調査で明らかに

*16:

【最新】2020年のマンガ閲読率は？

*17:

https://www.t-kougei.ac.jp/static/file/vocaloid.pdf

*18:

高学歴の割合は何％!? 同世代の人口から分析！ | たくみっく

*19:

IQ１３０と120の人と１１０と１００の人はそれぞれ人口の何パーセン... - Yahoo!知恵袋

*20:

平成30年度受検データ | 調査・データ | 日本漢字能力検定

漢検1級を持っている人って日本の人口の何%ですか？ - 統計による1級所... - Yahoo!知恵袋

*21:

検定に関する各種データ | 数学検定・算数検定（実用数学技能検定）

*22:

高校生のうちに英検二級とれる人は全体の何パーセントくらいですか？ ... - Yahoo!知恵袋

*23:

地球はあと何年でなくなるの，地球の寿命ってあるの | 自然 | 科学なぜなぜ110番 | 科学 | 学研キッズネット

*24:

宇宙の余命は１４００億年以上暗黒物質の分析で東大など将来予測数百億年説を否定 - 産経ニュース

*25:

正法眼蔵 - Wikipedia

*26:

ボーア磁子 - Wikipedia

*27:

地球はあと何年でなくなるの，地球の寿命ってあるの | 自然 | 科学なぜなぜ110番 | 科学 | 学研キッズネット

*28:

ドッペルゲンガーで、自分にそっくりな人がこの世に３人いて、それを... - Yahoo!知恵袋

*29:

「自分にそっくりな人は世界に3人いる」が科学で証明される。3人どころかもっと多い可能性は高い（米研究） : カラパイア

*30:

ドレイクの方程式 - Wikipedia

*31:

LGBTの割合がバラつく理由【13人に1人？ 100人に1人？】 | LGBT就活・転職活動サイト「JobRainbow」

*32:

https://www.mhlw-houkatsucare-ikou.jp/guide/h30-cccsguideline-p1.pdf

*33:

【最新版】2021年7月更新。12のソーシャルメディア最新動向データまとめ

2021-09-02

【素因数の個数】

Python オリジナルプチ研究数学数論素因数分解

Nの素因数分解

$N=p_1^{r_1} \cdots p_n^{r_n}$

と因数分解されたとき、素因数の個数

$r=r_1+\cdots+r_n$

を考える。これの最大値は、

$r\le \frac{\ln N}{\ln 2}$

となる。実際、 $N=10^5$ までの値をシミュレーションしてプロットすると、次の図のようになる。

f:id:FoxQ:20210902184615j:plain — r(N)の分布と $\ln N/ ln 2$

平均化

自然数 $r_{mod}$ を考えて、

$r(N)=\frac{r(N)+\cdots+r(N+r_{mod})}{r_{mod}}$

として計算してみる。

$r_{mod}=N/100$ のとき、 $N=10^5$ まででは $\frac{\ln N}{\ln 4.7}$ で抑えられる。

f:id:FoxQ:20210902185223j:plain — 平均化したr(N)の分布と上からの評価

$N=10^{k-1}+1 \sim 10^k$ の区間で、 $r_{mod}=10^{k-1}$ として、プロットすると、

f:id:FoxQ:20210902190021j:plain — r(N)の区間ごとの平均化

このように平均化すれば、平均化された $r(N)$ は上から5で抑えられるように見える。

2021-08-29

【未完成】2変数n(=1,2,3)次方程式の標準形【楕円曲線】

楕円曲線数学射影幾何

多少、いやかなり幾何学的直観を用いて式変形をしているので、この記事が正しいかどうかは疑って読んでください。また、計算の間違いを見つけてかつ修正できる方がいたらぜひ教えていただきたいです。

この記事の目的

n(=1,2,3)次の２変数方程式を有理変換により、なるべく単純な形(n=3のときをワイヤシュトラスの標準形と言う)に変形すること。

2(+1)変数1次方程式

$ax+by+c=0$

を考えてみよう。新しい変数ｚを導入して、

$ax+by+cz=0$

と書き直せる。

$z=1$ で2変数の方程式を得る。

平面の傾きを変えるように変数変換(有理変換)することで、有理数の解が2つ存在すれば、点 $(0,1,0),(0,0,1)$ を同時に通るようにできる。よって、

$b=c=0$

とおける。つまり、

$ax=0$

$x=0$

に書き直せる。

2(+1)変数2次方程式

$ax^2+bxy+cy^2+dxz+eyz+fz^2=0$

を考える。新しい変数 $z$ を導入すると、

$ax^2+bxy+cy^2+dxz+eyz+fz^2=0$

$z=1$ で2変数の方程式を得る。 $x,y,z$ についての2次方程式なので、有理数解が存在すれば、適当な有理変換変換により、球上に乗ると考えられるので $(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)$ を通るようにできると推測できる。

つまり、

$a+b+c=0$

$c+e+f=0$

$a+d+f=0$

つまり、6個のパラメータの内、3つがこの方程式を解き、変数変換により消せると考えらるので、 $b=d=e=0$ とすると、

$ax^2+by^2+cz^2=0$

と表せる。 $b$ で両辺を割って整理すると、

$y^2=ax^2+b$

と書き直せる。

2変数3次方程式

特異でない(接線が引ける)3次方程式を考える。

$ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3+ex^2z+fxyz+gy^2z+hxz^2+iyz^2+jz^3=0$

とすると、 $z=1$ で2変数の方程式を得る。 $x,y,z$ についての3次方程式なので、適当な有理変換変換により、複素平面上のトーラスになることが知られているので、 $(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,-1,0),(0,1,1),(0,-1,1)$ を通るようにできると推測できる。

このとき、

$d=j=0$

$a+b+c+d=0$

$a-b+c-d=0$

$d+g+i+j=0$

$d-g+i-j=0$

つまり、10個のパラメータの内、6つがこの方程式を解き、変数変換により消せると考えらるので、 $b=c=d=e=f=i=0$ とすると、係数を書き直して、

$ax^3+gy^2z+hxz^2+jz^3=0$

$ay^2z=bx^3+cxz^2+dz^3$

ここで、 $y=a^3x,x=a^2y$ とおき、係数を書き直し、 $z=1$ とすると、

$y^2=x^3+ax^2+bx+c$

となる。最後に、 $x\rightarrow x -a/3$ とおき係数を整理すると、

$y^2=x^3+ax+b$

と楕円曲線の標準形の式を得る。

2021-08-28

【高校数学】虚数iと虚数-iが異なることの証明【虚数とは？】

高校数学オリジナル数学数論楕円曲線

虚数の定義

虚数 $i$ は方程式、

$x^2+1=0$ ……①

を満たす解の一つとして定義され、虚数と呼ばれている。ところで、この虚数 $i$ は

$i^2=-1$

を満たす新しい数として定義される。この方程式の解は１つだけだろうか？それとも２つあるだろうか？

それを調べる第一歩は、①式を因数分解することから始まる。つまり、

$(x+i)(x-i)=x^2+(i-i)x-i^2=x^2+1=0$

なので、 $i=-i$ でなければ、解は２つあることになる。

素数２で割った余りと考えてみる

虚数 $i$ を

$i\equiv1(\mod 2)$

という数を同一視したものだと試しに定義してみる。つまり、奇数の集まり全体を同一視したものを虚数だと仮に考えてみる。

すると、

$-i\equiv -1 \equiv 1 \equiv i$

となり、 $x^2+1=(x-i)^2$ と重解を持つことになる。

さて、これは正しいのだろうか？

背理法

この手の問題を解く強力な数学的手法は背理法だ。つまり、 $i=-i$ として、矛盾を導く。矛盾を導くまでの過程、推論に間違いがなければ、最初の前提が間違っているという寸法だ。

まず、 $i=-i$ と仮定する。すると、 $2i=i+i=i-i=0$ である。

$0=x^2+1=(x+i)(x-i)=(x+i)^2=x^2+2xi+i^2$

$=x(x+2i)-1=x^2-1$

よって、

$x^2+1=x^2-1$

$1=-1$

となって矛盾が導ける。

よって、 $i\neq -i$ であることがわかり、これが $x^2+1$ の解の全てであることが分かる。

法を２としたときの $x^2+1\equiv 0$ の解

さて、法を2として2次方程式を見るとどうなるだろうか？このとき、

$1\equiv -1 (\mod 2)$

なので、上の議論からは矛盾は導けない。よって、重解 $x\equiv 1$ が

$x^2+1\equiv(x-1)^2=0$

から導ける。

法を奇素数 $p$ としたときの $x^2+1\equiv 0$ の解

奇素数 $p$ を法とした2次方程式、

$x^2\equiv -1\equiv p-1 (\mod p)$

を考える。これは、2乗して、 $p-1$ に合同になる数 $x=1,2,\cdots,p-1$ は存在するかということになる。これは実は平方剰余の第一法則(ルジャンドル記号 - Wikipedia)として知られており、

$p\equiv 1 (\mod 4)$ のときは解が存在し、 $p\equiv 3 (\mod 4)$ のときは解が存在しないことが分かっている。

$p\equiv 1 (\mod 4)$ とたときの解を $i$ と置いてみよう。

すると、 $x^2+1$ の因数分解から $-i$ も解であることがわかる。

このとき、 $x^2+1\equiv (x+i)(x-i)$ が重解を持つなら、 $i\equiv-i$ つまり、 $2i \equiv 0$ となることがわかる。

$2$ と奇素数 $p$ は互いに素なので、 $2$ の逆数(逆元)が存在することがわかる(モジュラ逆数 - Wikipedia)。よって、それを $2^{-1}$ とかき、かけると、

$2^{-1}2i\equiv 2^{-1}0 \equiv 0$

$i \equiv 0$

となるが、これは、 $x=i$ が $x^2+1\equiv 0$ の解で会った事に矛盾する。

実際、

$0\equiv x^2 +1 \equiv 0^2+1\equiv 1 (\mod p)$

となり、矛盾。よって、 $i$ と $-i$ は異なる。

結局、虚数は奇素数 $p=4k+1$ としたとき世界の数なのか？

これは実数をどう拡張するかによってくる。

例えば、素数 $p=5$ を考えるとき、方程式

$5x-1\equiv 0 (\mod 5)$

は、 $-1\equiv 0 (\mod 5)$ となってしまい、解が存在しなくなる。同様にして、

$px-1\equiv 0 (\mod p)$ を考えると、これは解を持たない。

新しい数を導入することで、もともとあった方程式の解の個数が減ってしまってはそんな気がするので、虚数は法を $p$ とした数とはしない方がいいということがわかるだろう。

法を $p$ とした方程式

方程式 $f(x)=0$ を法を $p$ として考えて、

$f(x)\equiv 0(\mod p)$

としたときの解の個数を考えるのは興味深い問題だ。

実は、整数係数の楕円曲線

$y^2=x^3+ax+b$

は2変数 $x,y$ の3次方程式だが、法を $p$ としたときの解の個数や解の重複の個数が、フェルマーの最終定理を解くときの鍵になっていたりする。

だから、あながち、法を $p$ として方程式を考えることも無駄ではないのだ。

というわけで、常に視野は広く持っておこう!!

2021-08-24

【素因数分解】分解長という概念を導入してシミュレーションしてみた【RSA暗号】

Python RSA暗号オリジナルプチ研究数論素因数分解数学

素因数分解

素数 $p,q$ に対して、 $N=pq$ を考える。このとき、 $q-p=d(N)$ が分かっていれば、

$N=pq=p(p+d(N))$

$p^2+d(N)p-N=0$

$p=\frac{1}{2}(-d(N)+\sqrt{d(N)^2+4N})$

と求まる。

プログラム

$N$ が半素数の場合のみ出力している。

giste505f5b0bfc142369b1c51f116aabf10

計算結果

$N=1\sim1000$ の計算結果

f:id:FoxQ:20210824194025p:plain — N＝１～1000までのd(N)

$N=1\sim10^4$ の計算結果

f:id:FoxQ:20210824194159p:plain — N＝１～10^4までのd(N)

塗りつぶされていしまったので、 $d(N)\le N/100$ の場合のみを出力してみる。

f:id:FoxQ:20210824194436p:plain — N＝１～10^4までのd(N)<N/100

結論

規則性はなさそうだ。残念！

おまけ(3次元プロット、 $(p,q,D(N))$ )

プログラムを3次元のプロットに拡張した。

gistd196b3f0c353cf106c67c9815a04aa36

f:id:FoxQ:20210824204946p:plain — (p,q,D(N))の3次元プロット

当たり前と言えば当たり前だが、規則性が見えた。ただし、 $p,q$ の情報は事前にわかっていないので、この種のプロットはあまり意味がない。

おまけ２(2次元プロット、 $(p,q)$ )

赤線は、 $q=5000/(p-1)$ 。より一般には、 $q=\frac{N}{2(p-1)}$ でだいたいフィットできそう。

2021-08-24

【RSA暗号】適当にとった自然数eの割り算による素因数探索【未実装かつ自信なし】

RSA暗号オリジナル暗号数論プチ研究

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RSA暗号解読に向けて試してみたこと

連分数によるRSA暗号の攻撃方法があることを知ったので、そこに着想を得て自分であれこれやってみた。この本に書いてありました。

現代暗号入門　いかにして秘密は守られるのか (ブルーバックス)

作者:神永正博
講談社

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RSA暗号については、過去記事を参照してください。

sky-time-math.hatenablog.jp

$N=pq$ の $p,q$ も教えないけど、公開鍵 $e$ は教えているわけで、その意味でなんか数学的に関連はあって、 $N$ は素因数分解しなくても、なんとかできるんじゃないかと思った次第。しかし、結局、公開鍵と秘密鍵の積はわからずじまいなので、普通の自然数 $e$ を法としたアルゴリズムをとりあえず考えてみた。