流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

1994トルコ数学オリンピックを解いてみた

1994トルコ数学オリンピック

最近twitterで「おはようございます。」すると、すぐ近くで「全て求めよ」って返ってくる呪いにかかったらしいFoxQです。というわけで今日のお題は、次の問題です。

 

 意外と簡単だった。

解答

2次方程式とみなして解く。

t^2+1=s(s+1)……(1)

のままだと、埒が明かないので、式変形して、

s^2+s-t^2-1=0

とする。これをsに関する2次方程式と見て、判別式をDとすると、

D=4t^2+5

となる。sが整数となるためには判別式が平方数r^2*1でなければいけないので、

4t^2+5=r^2

とおける。これを変形して、

5=(r-2t)(r+2t)

tが正の整数であることに注意すると*2

r-2t=1
r+2t=5

となる。これを解いて、

(r,t)=(3,1)

これを(1)式に代入して解くと、

(s,t)=(1,1)

のみが解であることがわかる。

*1:rは整数

*2:もう一方の組み合わせは、(r,t)=(3,-1)となり不適