流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

【twitter】ウクライナ数学オリンピック2009を解いてみた【数学オリンピック】

ウクライナ数学オリンピック2009

twitterで見かけた問題を解いてみた。よくある「~を満たすものを全て求めよ。」系の次の問題である。

解答(序盤)

2p^2+p+9=m^2
 p(2p+1)=(m-3)(m+3)

とまずは変形する。
p素数なので、m-3またはm+3を割り切る。
なので、場合分けしていく。

m-3pの倍数のとき

m-3=pn (n \ge 1)……(1)

とおくと、

2p^2+p=pn(pn+6)
         =n^2p^2+6np

pp^2でまとめて、

(6n-1)p=(2-n^2)p^2
(6n-1)=(2-n^2)p……(2)

ここで、左辺は正であるから右辺も正でなければいけない。よって、n=1しかありえない。このとき、(1)(2)式より、

p=5
m=8

となる。

m+3pの倍数のとき

こちらの方が少し難しい。

m+3=pn (n \ge 1)

とおくと、

2p^2+p=(pn-6)pn
         =n^2p^2-6np

pp^2でまとめて、

(6n+1)p=(n^2-2)p^2
(6n+1)=(n^2-2)p……(3)

を得る。不等式による絞り込みを使いたいので、素数pによる絞り込みを使う。p=2は題意を満たさないので*1

p\ge 3

である。これを上式に代入して、

(6n+1) \ge 3(n^2-2)

を得る。式変形してf(n)を次のように定義する。

f(n) \equiv 3n^2-6n-7 \le 0……(4)

ここで、

 f(-1)=2 \gt 0
 f(0)=-7 \lt 0
 f(2)=-7 \lt 0
 f(3)= 2 \gt 0

より、上の不等式(4)の解はn\ge1に注意して

 1 \le n \le 2

となる。(3)式より、n=1は右辺だけが負になるので不適。n=2

13=2p

となり、13は偶数ではないので不適。

解答(おわり)

よって、求める解は

p=5,m=8

のみであることがわかった。

 

*1:2 \times 2^2+9 =19は平方数ではない。