流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

3が合同数でないことの初等的証明

追記(2018/10/07):(14)式から(15)式に移るのに飛躍があったので、証明には修正が必要なようです。うまくいったら、また更新します。

合同数とは

直角三角形の斜辺をz、その他2つの斜辺をx,yとする。
このとき、x,y,zが全て有理数で、かつ、その直角三角形の面積が自然数となったとき、その自然数を合同数という。
 例えば、x=3,y=4,z=5とすると、三平方の定理

3^2+4^2=5^2……(1)

が成り立つので、これらの辺の長さを持つ三角形は直角三角形で、その面積は、

\frac{3\times4}{2}=6……(2)

となるので、6は合同数である。

Mathpower2018で聞いた宿題

現在、絶賛開催中のMathpower2018の「意欲的な中高生に贈る数学の話」でこの合同数の話題が取り上げられた。そこで、以前「数理空間トポス」の宿題として、

「3が合同数でないことを(初等的に)証明せよ。」……(3)

という問題が出題されたということだ。今回の記事では、これを大人げなく解いてみる。
 もし、間違いなどあれば優しく指摘してくださるとありがたいです。

3が合同数でないことの初等的証明

背理法を用いる。3が合同数であったと仮定する。すなわち、面積が3になるような直角三角形で、三辺の長さx,y,z有理数であるものが存在したと仮定する。即ち、

z^2=x^2+y^2……(4)
\frac{xy}{2}=3 \iff xy=6……(5)

を満たす有理数x,y,zが存在したと仮定する。(4)(5)式の両辺をx^2で割って、

(\frac{z}{x})^2 = 1 + (\frac{y}{x})^2……(6)
\frac{y}{x}=\frac{6}{x^2}……(7)

を得る。(7)式を(6)式に代入して整理すると、

(\frac{z}{x})^2 = 1 + \frac{6^2}{x^4}
x^2 z^2 = x^4 + 6^2……(7)

となる。ここで、x,zを既約分数で表す。つまり、

x=\frac{a}{b}……(8)
z=\frac{c}{d}……(9)

とする。ここで、abcdは互いに素な自然数である。つまり、

 \gcd (a,b)=1……(10)
 \gcd (c,d)=1……(11)

とする。(7)式の両辺に b^4 d^2をかけると、

a^2 b^2 c^2 = a^4 d^2 + 6^2 b^4 d^2
\iff (abc)^2 = (a^2d)^2 + (6b^2d)^2……(12)

ここで、右辺がd^2の倍数であるので、左辺もd^2の倍数であり、両辺をd^2で割っても自然数の項のみが現れる。
同様に、

 (abc)^2 - (a^2d)^2 = (6b^2d)^2……(13)
 (abc)^2 - (6b^2d)^2 = (a^2d)^2……(14)

などと変形してやると、(13)(14)式の右辺がそれぞれ、a^2,b^2の倍数であることがわかる。結局、(12)式の各項はa^2 b^2 d^2で割り切れることがわかる。したがって、

(\frac{c}{d})^2 = (\frac{a}{b})^2 + (6 \frac{b}{a})^2……(15)

という自然数のみからなる等式を得る。特に、a,bが互いに素であることから、

\frac{a}{b}が自然数……(16)

より、

b=1……(17)

 を得る。また、

6 \frac{b}{a}=\frac{6}{a}が自然数……(18)

であるので、aの値の候補を

a=1,2,3,6……(19)

と絞り込める。そして、

(\frac{c}{d})^2が自然数
\iff (\frac{c}{d})^2は平方数……(20)

であることも注意しておく。
 後は、これら全てのaの値について、矛盾を導けば証明は完成する。

(i) a=1の場合、(15)式から

 (\frac{c}{d})^2 = 1^2 +6^2 =37……(21)

となるが、37は平方数でないので矛盾。

(ii) a=2の場合、(15)式から、

 (\frac{c}{d})^2 = 2^2 +3^2 =13……(22)

となるが、13は平方数でないので矛盾。

(iii) a=3の場合も、同様に、

 (\frac{c}{d})^2 = 3^2 +2^2 =13……(23)

となり、矛盾。

(iv)a=6の場合も、同様に、

 (\frac{c}{d})^2 = 6^2 +1^2 =37……(21)

 となり、矛盾。

 以上より、全ての場合について矛盾が得られたので、背理法の仮定が偽であったことになり、3は合同数でないことが示された。